Calcul intégral (3)
2- Techniques de calcul intégral
2.1 Utilisation des fonctions primitives
2.1.1 Rappel
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et F sa fonction primitive.
| b ∫ a |
f(x)dx | = F(b) - F(a) |
2.1.2 Exemples
Exemple 1 calculer l'integralle suivante
| 2 ∫ 1 |
2(2x-1)(x²-x+5) | dx |
Correction
La fonction f: x→2(2x-1)(x²-x+5) est continue sur [1;2] donc elle admet des fonctions primitives.
On remarque que (x²-x+5)'=2x-1
donc f(x)=2(x²-x+5)'(x²-x+5)
=[(x²-x+5)²]'.
Et donc
| 2 ∫ 1 |
f(x)dx | =[(x²-x+5)²] | 2 1 |
=49-25=24.
| ainsi | 2 ∫ 1 |
2(2x-1)(x²-x+5) | dx = 24 |
Exemple 2 Calculer l'integrale suivante
| I = | 0 ∫ -1 |
2x+1 | dx |
| √(x²+x+1) |
Correction
La fonction
| f: x→ | 2x+1 |
| √(x²+x+1) |
est continue sur [-1;0] donc elle admet des fonctions primitives.
On remarque que (x²+x+1)'=2x+1
| donc f(x) = | (x²+x+1)' | dx |
| √(x²+x+1) |
⇔ f(x) = 2(√(x²+x+1))'.
Et donc
| I = 2[√(x²+x+1)] | 0 -1 |
= 2 - 2 = 0
ainsi I = 0.
Exercice 1 tp
Calculer l'integrale suivante
| π/2 ∫ -π |
cosx.sinx dx |
Exercice 2 tp
Calculer l'integrale suivante
| J = | e ∫ 1 |
1 | dx |
| x(1+lnx) |
Correction
On remarque que
| (1+lnx)'= | 1 |
| x |
Donc
| 1 | = | (1+lnx)' | |
| x(1+lnx) | 1+lnx |
ainsi
| J = | [ln(1+lnx)] | e 1 |
= ln(2) |
Exercice 3 tp
Calculer l'integrale suivante
| K = | 0 ∫ -1 |
x+1 | dx |
| x²+2x+2 |
Correction
On remarque que
(x²+2x+2)'=2x+2=2(x+1).
| K = | 1 | [ln|x²+2x+2|] | 0 -1 |
| 2 |
| = | 1 | ln(2) - ln(1) |
| 2 |
ainsi K = ln(√(2)).