Calcul Intégral (5)
Exercice 1 tp
Calculer l'intégale suivante
| I = | π ∫ 0 |
x².cos xdx |
Correction
On pose
| u(x) = x² | v'(x) = cosx | |
| u'(x) = 2x | v(x) = - sinx |
| I = [-x²sinx] | π 0 |
- | π ∫ 0 |
-2xsinxdx |
| = 0-0 | + | π ∫ 0 |
2xsinxdx |
= 0+K.
On utilise une deuxième fois l'intégration par partie
| K = | π ∫ 0 |
2x.sinx dx |
On pose
| u(x) = 2x | v'(x) = sinx | |
| u'(x) = 2 | v(x) = |
| K = [2xcosx] | π 0 |
- | π ∫ 0 |
2cosxdx |
| = -2π-0 | - | [2sinx] | π 0 |
K = -2π
ainsi
I = 0-2π = -2π.
Exercice 2 tp
Calculer l'integrale suivante
| I = | 2 ∫ 1 |
4x²-1 | dx |
| 2x+1 |
Correction
La fonction
| f: x→ | 4x²-1 |
| 2x+1 |
est continue sur l'intervalle [1;2] et donc admet des fonctions primitives sur cet intervalle.
(∀x∈[1;2]): 2x+1≠0.
| I = | 2 ∫ 1 |
(2x-1)(2x+1) | dx |
| 2x+1 |
ainsi f(x)=2x-1.
| I = | 2 ∫ 1 |
2x-1 | dx |
| = | [x² -x] | 2 1 |
alors I = 2.
Exercice 3 tp
Montrer l'intégrale K
| 3 ∫ 2 |
x . ∛(x-1)dx = | 45 | ∛(2) - | 33 |
| 14 | 28 |
Correction
La fonction f: x→x∛(x-1) est continue sur l'intervalle [2 ; 3] donc admet des fonctions primitives sur cet intervalle.
x∛(x-1)=(x-1)∛(x-1)+∛(x-1)
donc
| K = | 3 ∫ 2 |
(x-1)∛(x-1) + ∛(x-1) | dx |
| = | 3 ∫ 2 |
(x-1)4/3+ (x-1)1/3 | dx |
| = [ | (x-1)7/3 | ] | 3 2 |
+ [ | (x-1)4/3 | ] | 3 2 |
| 7/3 | 4/3 |
| = | 3 | 27/3 | - | 3 | + | 3 | 24/3 | - | 3 |
| 7 | 7 | 4 | 4 |
| = | 12 | ∛(2) | + | 3 | ∛(2) | - | 33 |
| 7 | 2 | 28 |
| Ainsi K = | 45 | ∛(2) - | 33 |
| 14 | 28 |
Exercice 4 tp
Soient f ; g et h des fonctions définies sur I=[0;1] par
f(x)= (1+x²)-1 ; g(x)=-0,5x+1 et h(x)=-0,5x²+1
1) Montrer que ∀x∈I: g(x)≤f(x)≤h(x).
2) Déduire un encadrement de l'integrale.
| 1 ∫ 0 |
f(x)dx |