Calcul intégral (5)
Exercice 1 tp
Calculer par intégration par partie l'intégale suivante
| I td>2 ∫ 1 | 2x.lnx dx |
Correction
On pose
| u'(x) = 2x | v(x) = | lnx | |
| u(x)= x² | v'(x)= | 1 | |
| x |
| I = | [x²lnx] | 2 1 |
- | 2 ∫ 1 |
x² | dx |
| x |
| = 4ln2 -0 | - | 2 ∫ 1 | x dx |
| = 4ln2 - | 1 | [x²] | 2 1 |
| 2 |
| Ainsi I = 4ln2 - | 3 |
| 2 |
Exercice 2 tp
Calculer par partie l'intégale suivante
| J = | ln2 ∫ 0 | (2x+1).ex dx |
Correction
| J = | ln2 ∫ 0 |
2x.exdx + | ln2 ∫ 0 |
ex dx |
| J = | K | + | [ex] | ln2 0 |
J = K+1 . On calcule K
| K = | ln2 ∫ 0 | 2xex dx |
On pose
| u(x) = 2x | v'(x) = ex | |
| u'(x)= 2 | v(x) = ex |
| K = [2xex] | ln2 0 | - | ln2 ∫ 0 |
2exdx |
| = | 4ln2-0 | - | [2ex] | ln2 0 |
Donc K = 4ln2 -2
Ainsi J = 4ln2 -2+1 = 4ln2 -1
Exercice 3 tp
Calculer par partie l'intégale suivante
| I = | π ∫ 0 | x².cos xdx |
Correction
On pose
| u(x) = x² | v'(x) = cosx | |
| u'(x) = 2x | v(x) = sinx |
| I = [x²sinx] | π 0 | - | π ∫ 0 | 2xsinxdx |
| = 0-0 | - | π ∫ 0 | 2xsinxdx |
= 0 - K
On utilise deuxième fois l'intégration par partie
| K = | π ∫ 0 | 2x.sinx dx |
On pose
| u(x) = 2x | v'(x) = sinx | |
| u'(x) = 2 | v(x) = -cosx |
| K = [-2xcosx] | π 0 | - | π ∫ 0 | -2cosxdx |
| = 2π + 0 | + | [2sinx] | π 0 |
K = 2π
ainsi
I = 0 - 2π = -2π.