Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (5)

Exercice 1 tp

Calculer par intégration par partie l'intégale suivante

I td>2

1
2x.lnx dx
Correction

On pose

u'(x) = 2x v(x) = lnx
u(x)= x² v'(x)=1
x
I = [x²lnx] 2
1
- 2

1
dx
x
= 4ln2 -0 -2

1
x dx
= 4ln2 - 1[x²] 2
1
2
Ainsi I = 4ln2 -3
2
Exercice 2 tp

Calculer par partie l'intégale suivante

J = ln2

0
(2x+1).ex dx
Correction
J = ln2

0
2x.exdx + ln2

0
ex dx
J = K + [ex] ln2
0

J = K+1 . On calcule K

K = ln2

0
2xex dx

On pose

u(x) = 2x v'(x) = ex
u'(x)= 2 v(x) = ex
K = [2xex] ln2
0
- ln2

0
2exdx
= 4ln2-0 - [2ex] ln2
0

Donc K = 4ln2 -2
Ainsi J = 4ln2 -2+1 = 4ln2 -1

Exercice 3 tp

Calculer par partie l'intégale suivante

I = π

0
x².cos xdx
Correction

On pose

u(x) = x² v'(x) = cosx
u'(x) = 2x v(x) = sinx
I = [x²sinx] π
0
-π

0
2xsinxdx
= 0-0 - π

0
2xsinxdx

= 0 - K
On utilise deuxième fois l'intégration par partie

K = π

0
2x.sinx dx

On pose

u(x) = 2x v'(x) = sinx
u'(x) = 2 v(x) = -cosx
K = [-2xcosx] π
0
-π

0
-2cosxdx
= 2π + 0 + [2sinx]π
0

K = 2π
ainsi I = 0 - 2π = -2π.