Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (4)

Exercice 1 tp

Soient f ; g et h des fonctions définies
sur I = [0;1] par

f(x) = 1 ; g(x) = - 1 x + 1
1 + x² 2
et h(x) = 1 x + 1
2

1) Montrer que (∀x∈I): g(x)≤f(x)≤h(x)

2) Déduire un encadrement de l'integrale

1

0
f(x)dx
Correction

1) (a) Montrons que g(x) ≤ f(x) . Soit x∈I
on étudie le signe de g(x) - f(x)

g(x) - f(x) = -1 x + 1 - 1
2 1 + x²
= -x(1+x²) + 2(1+x²) - 2
2(1 + x²)
= - x³ + 2x² - x
2(1 + x²)
= - x(x² - 2x + 1)
2(1 + x²)
= - x(x - 1)²
2(1 + x²)

∀x∈I on a (1+x² > 0 et -x≤0)
donc (∀x∈I) on a g(x) ≤ f(x)
(b) Montrons que f(x) ≤ h(x) . Soit x∈I
on étudie le signe de h(x) - f(x)

h(x) - f(x) = 1 x + 1 - 1
2 1 + x²
= x(1+x²) + 2(1+x²) - 2
2(1 + x²)
= x3 + 2x² + x
2(1 + x²)
= x(x² + 2x + 1)
2(1 + x²)
= x(x + 1)²
2(1 + x²)

(∀x∈I) on a (1+x² > 0 ; (x+1)²≥0 et x≥0)
donc (∀x∈I) on a h(x) ≥ f(x)
ainsi (∀x∈I) on a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

2) D'après la question (1)
(∀x∈I) on a g(x)≤f(x)≤h(x) Donc

1

0
g(x)dx 1

0
f(x)dx 1

0
h(x)dx

On a

1

0
g(x)dx = 1

0
-1 x + 1 dx
2
=-1 1

0
(x - 2) dx
2
= - 1 [x² - 4x] 1
0
4
= 3
4

Et on a

1

0
h(x)dx = 1

0
1x + 1 dx
2
= 1 [x² + 4x] 1
0
4
= 5
4

Donc (∀x∈I)

31

0
f(x)dx5
4 4