Mathématiques du secondaire qualifiant

3.2 Théorème de la fonction réciproque (théorème de la bijection)

3.2.1 Exemple

Soit f une fonction définie sur IR⁺ par f(x)=x².
f est un polynôme donc continue sur IR⁺
∀ x;y∈IR⁺: si x<y alors x²<y²
ou encore f(x)<f(y) et donc f strictement croissante sur IR⁺.
2→f(2)=4 donc 4 est l'image de 2 par f et 2 est l'image réciproque de 4 et on écrit f^-1(4)=2.

7→f(7)=49 donc f^-1(49)=7.

3.2.2 Théorème et Définition

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.
Il existe une fonction unique définie de J=f(I) vers I, notée f^-1

f^-1(x) = y x∈J=f(I)	⇔	f(y)=x y∈I

et est appelée fonction réciproque de f.

3.2.3 Propriété d’une fonction strictement croissante sur un intervalle

Soit f une fonction définie d'un intervalle I vers IR.
Si f est continue sur I et strictement monotone sur I alors
(a) J = f(I) est aussi un intervalle.
(b) f est bijective de I vers J.

(c) La bijection réciproque f^-1 est aussi une fonction continue sur I, strictement monotone sur I et de même sens (càd si f est strictement croissante sur I alors f^-1 est aussi strictement croissante sur J..)
(d) Les courbes (C_f) et C_f^-1 sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie
de I=[1;+∞[ vers J=[-1;+∞[ par
f(x) = x² - 2x.
1) Montrer que f admet une fonction réciproque f^-1 définie de J vers I.
2) Déterminer f^-1.

Correction

1) f est la restriction d'un polynôme donc continue et dérivable sur I.
Soit x∈I on a f'(x) = 2x - 2.

x∈I ⇔ x≥1 ⇔ 2x≥2
⇔ 2x-2≥0 ⇔ f'(x)≥0
donc ∀x∈]1;+∞[: f'(x)>0
ainsi f est strictement croissante sur I
On a donc f est continue et strictement monotone sur I
donc f admet une fonction réciproque f^-1 définie de f(I) vers I.
f(I) = [-1;+∞[
car f(1) = 1²-2.1 = -1

Et

lim
+∞

f(x) =

lim
+∞

x² = +∞

2) Déterminons la fonction réciproque f^-1.
Soit y∈J.
(f(x)=y avec x∈I) ⇔ (x²-2x=y avec y∈J)
⇔ x²-2x+1=y+1
⇔ (x-1)²=y+1
⇔ |x-1|=√(y+1) car y≥-1
⇔ x-1 = √(y+1) car x≥1