Exercice 1 tp

Montrer que l'équation x-cosx=0 admet une solution unique dans l'intervalle

Correction

On montre que l'équation
(E): x-cosx=0 admet une solution unique dans l'intervalle I
pour cela on considère la fonction f définie par
f(x) = x - cosx.

On a f(0) = 0 - cos0 = -1 < 0.

d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle I.

Alors pour connaitre si la solution est unique on étudie la monotonie de f.
Soient x;y∈I tels que x < y.
La fonction cos est strictement décroissante sur [0 ; π] en particulier sur I
donc cosx > cosy
ou encore -cosx < -cosy
ainsi x + (-cosx) < y + (-cosy)

Ou encore f(x) < f(y)
et cela signifie que f est strictement croissante sur I.
En utilisant le corollaire de la valeur intermédiaire on déduit que l'équation (E) admet une seule solution dans I.

3.1.3 Méthode de dichotomie

Soit f une fonction définie par
f(x)=x³-4x²+4x-1.
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution t unique dans I=[2;3] et donner une approximation de t d'amplitude 0,25.

Correction
f(2) = 2³-4.2²+4.2-1 = -1 < 0.
f(3) = 3³-4.3²+4.3-1 = 2 > 0. f est une fonction polynôme donc continue sur IR et en particulier sur I.

En utilisant le théorème de la valeur intermédiaire on déduit que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur I.
On étudie la monotonie de f.
f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR et en particulier sur I. Soit x∈I
f'(x)=3x²-8x+4. Etudions le signe de f'.

[2;3]⊂[2;+∞[
donc f est strictement croissante sur [2;3].
f est continue sur IR donc continue sur [2;3]. D'après le corollaire de la V.I (∃!a∈[2;3]): f(a)=0
ainsi l'équation admet une solution unique dans I=[2;3].
Méthode de dichotomie
1) 2,5 est le centre de I donc a∈[2;2,5] ou a∈[2,5;3.
f(2,5)=-0,375<0 et f(3)>0 et d'après le TVI a∈J=]2,5;3[ (l'amplitude 3-2,5=0,5).

2) 2,75 est le centre de J
et f(2,75)=0,54.. >0 donc a∈]2,5;2,75[
(l'amplitude 2,75-2,5 = 0,25).
alors ]2,5;2,75[ est un encadrement de a d'amplitude 0,25.