Mathématiques du secondaire qualifiant

Limites et Continuité (13)

3.4 Fonction réciproque usuelle

3.4.1 Propriété

Soit n∈IN*
La fonction x→n√(x) est continue et strictement croissante sur IR+
sa fonction réciproque x→xn est définie sur IR+.
(∀(x;y)∈(IR+)²): n√y = x ⇔ y = xn.

3.4.2 Exemples

1) Si f(x) = ∛(x) avec x∈IR+
alors f-1(x) = x³ avec x∈IR+.
2) Si f(x)= 4√(x) avec x∈IR+
alors f-1(x) = x4 avec x∈IR+.

Cas particulier
La fonction x→√x est continue et strictement croissante sur IR+
sa fonction réciproque x→x² est définie sur IR+.
(∀(x;y)∈IR+²): (√y)=x ⇔ y=x².

3.5 Puissances rationnelles d'un nombre réel strictement positif

3.5.1 Définition

Soit x∈IR+* et r∈ℚ* tel que

r = p avec p∈Z* et q∈IN*
q

Le nombre xr est appelé puissance rationnelle de x
et on écrit xr=q√xp.

Exemple
32/5 = 5√32.
24/3 = 3√24.
π-5/7 = 7√π-5.

3.5.2 Propriété 1

Soit x∈IR+* et r∈Q*.
La fonction x→ xr est continue sur IR+*.

3.5.3 Propriété 2

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.

ar x ar' = ar+r' ar x ar' = ar.r'
(ar)r' = ar.r'
a-r = 1
ar
3.5.2 Propriétés

Soient x et y deux réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.

xr = (x)r
yry
xr = xr-r'
xr'
x1/n = n√x avec n∈IN*
3.5.3 Propriété

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et r∈ℚ*.
Si f est continue et strictement positive sur I alors la fonction fr est continue sur I.

Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²+1)2/3.
x→ x²+1 est strictement positive sur IR de plus elle est continue sur IR car est un polynôme
ainsi la fonction f est continue sur IR.

Exemple 2
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)3/4.
D = {x∈IR /x²-1 > 0}.

x -∞ -1 1 +∞
x²-1 + 0 - 0 +

donc D=]-∞;-1[∪]1;+∞[.
x→ x²-1 est strictement positive sur D de plus elle est continue sur D car est une restriction d'une fonction polynôme
ainsi la fonction f est continue sur D.