3.4 Fonction réciproque usuelle

3.4.1 Propriété

Soit n∈IN*
La fonction x→ⁿ√(x) est continue et strictement croissante sur IR⁺
sa fonction réciproque x→xⁿ est définie sur IR⁺.
(∀(x;y)∈(IR⁺)²): ⁿ√y = x ⇔ y = xⁿ.

3.4.2 Exemples

1) Si f(x) = ∛(x) avec x∈IR⁺
alors f^-1(x) = x³ avec x∈IR⁺.
2) Si f(x)= ⁴√(x) avec x∈IR⁺
alors f^-1(x) = x⁴ avec x∈IR⁺.

Cas particulier
La fonction x→√x est continue et strictement croissante sur IR⁺
sa fonction réciproque x→x² est définie sur IR⁺.
(∀(x;y)∈IR⁺²): (√y)=x ⇔ y=x².

3.5 Puissances rationnelles d'un nombre réel strictement positif

3.5.1 Définition

Soit x∈IR^+* et r∈ℚ* tel que

Le nombre x^r est appelé puissance rationnelle de x
et on écrit x^r=^q√x^p.

Exemple
3^2/5 = ⁵√3².
2^4/3 = ³√2⁴.
π^-5/7 = ⁷√π^-5.

3.5.2 Propriété 1

Soit x∈IR^+* et r∈Q*.
La fonction x→ x^r est continue sur IR^+*.

3.5.3 Propriété 2

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.

3.5.2 Propriétés

Soient x et y deux réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.

3.5.3 Propriété

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et r∈ℚ*.
Si f est continue et strictement positive sur I alors la fonction f^r est continue sur I.

Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²+1)^2/3.
x→ x²+1 est strictement positive sur IR de plus elle est continue sur IR car est un polynôme
ainsi la fonction f est continue sur IR.

Exemple 2
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)^3/4.
D = {x∈IR /x²-1 > 0}.

donc D=]-∞;-1[∪]1;+∞[.
x→ x²-1 est strictement positive sur D de plus elle est continue sur D car est une restriction d'une fonction polynôme
ainsi la fonction f est continue sur D.