Limites et Continuité (13)
3.4 Fonction réciproque usuelle
3.4.1 Propriété
Soit n∈IN*
La fonction x→n√(x) est continue et strictement croissante sur IR+
sa fonction réciproque x→xn est définie sur IR+.
(∀(x;y)∈(IR+)²): n√y = x ⇔ y = xn.
3.4.2 Exemples
1) Si f(x) = ∛(x) avec x∈IR+
alors f-1(x) = x³ avec x∈IR+.
2) Si f(x)= 4√(x) avec x∈IR+
alors f-1(x) = x4 avec x∈IR+.
Cas particulier
La fonction x→√x est continue et strictement croissante sur IR+
sa fonction réciproque x→x² est définie sur IR+.
(∀(x;y)∈IR+²): (√y)=x ⇔ y=x².
3.5 Puissances rationnelles d'un nombre réel strictement positif
3.5.1 Définition
Soit x∈IR+* et r∈ℚ* tel que
r = | p | avec p∈Z* et q∈IN* |
q |
Le nombre xr est appelé puissance rationnelle de x
et on écrit xr=q√xp.
Exemple
32/5 = 5√32.
24/3 = 3√24.
π-5/7 = 7√π-5.
3.5.2 Propriété 1
Soit x∈IR+* et r∈Q*.
La fonction x→ xr est continue sur IR+*.
3.5.3 Propriété 2
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.
ar x ar' = ar+r' | ar x ar' = ar.r' |
(ar)r' = ar.r' |
a-r | = | 1 |
ar |
3.5.2 Propriétés
Soient x et y deux réels strictement positifs et r;r'∈ℚ*.
xr | = ( | x | )r |
yr | y |
xr | = | xr-r' | |
xr' |
x1/n | = | n√x avec n∈IN* |
3.5.3 Propriété
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et r∈ℚ*.
Si f est continue et strictement positive sur I alors la fonction fr est continue sur I.
Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²+1)2/3.
x→ x²+1 est strictement positive sur IR
de plus elle est continue sur IR car est un polynôme
ainsi la fonction f est continue sur IR.
Exemple 2
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)3/4.
D = {x∈IR /x²-1 > 0}.
x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
x²-1 | + | 0 | - | 0 | + |
donc D=]-∞;-1[∪]1;+∞[.
x→ x²-1 est strictement positive sur D
de plus elle est continue sur D car est une restriction d'une fonction polynôme
ainsi la fonction f est continue sur D.