Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'équation (E)
5^(4-x)/x = 25^2/x².

Correction

L'équation (E) est définie si x≠0
donc D = IR*. Soit x ∈IR*
(E) ⇔ 5^(4-x)/x = 5^2.2/x²

⇔	4-x	=	4
	x		x²
⇔	4	- 1 = (	2	)²
	x		x

⇔ (	2	)² - 2.	2	+ 1 = 0
	x		x

On pose	2	= X
	x

donc (E) ⇔ X² - 2X + 1 = 0
⇔ (X-1)² = 0 ⇔ X = 1.

et donc x =	1	ainsi S = {	1	}
	2		2

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définue par

{	f(x) =	∛(x²+4) - 2	si x≠-2
		x + 2
	f(-2) =	L	si x = -2

Déterminer L pour que f soit continue au point -2.

Correction

On cherche la limite de f au point -2.

lim -2	f(x) =	lim -2	∛(x²+4) - 2
			x + 2

Pour se débarasser de la forme indéterminée on utilise l'identité remarquable suivante
a³-b³ = (a - b)(a² + ab + c²)

donc

lim -2

f(x) =

	lim -2	(∛(x²+4))³ - 2³
		(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)
=	lim -2	x² + 4 - 8
		(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)
=	lim -2	(x -2)(x + 2)
		(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)

=	lim -2	x - 2
		∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4

on a

lim -2

∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4 = 12

donc	lim -2	f(x)	=	-2 - 2	=	- 1
				12		3

et donc f admet une limite finie au point -2
alors f est continue au point -2

si f(-2) =	-1
	3