Mathématiques du secondaire qualifiant

1.2 Continuité à droite et continuité à gauche

1.2.1 Continuité à droite

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a;a+r[ avec r>0.
On dit que f est continue à droite à a si

lim a⁺	f(x)	= f(a)

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | x - 7|.
Montrer que f est continue à droite à 7.

Correction
On a f(7) = |7-7| = 0

x -∞ 7 +∞

x - 7 - 0 +

lim
7⁺ f(x) =
lim
7⁺ x - 7 = 0 = f(7)

x		-∞		7		+∞
x - 7			-	0	+

ainsi f est continue à droite à 7.

1.2.2 Continuité à gauche

Définition
Soit f est fonction définie sur un intervalle de la forme ]a-r;a] avec r>0.
On dit que f est continue à gauche à a si

lim a^-	f(x)	= f(a)

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par

{	f(x) =	x²-1
		\|x-1\|
	f(1) =	2

Etudier la continuité de la fonction f à gauche à 1 et à droite à 1.
Est ce que f admet une limite au point 1 ? et déduire la continuité de f au point 1.

Correction
On a f(1) = 2 .

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	0	+

lim 1^-	f(x) =	lim 1^-	(x-1)(x+1)
			-(x-1)
=	lim 1^-	- (x+1)	-2 ≠ f(1)

ainsi f n'est pas continue à gauche à 1.

lim 1⁺	f(x) =	lim 1^-	(x-1)(x+1)
			(x-1)
=	lim 1^-	(x+1)	2 = f(1)

ainsi f est continue à droite à 1.
f n'admet pas de limite au point 1 car la limite à droite à 1 est différente à la limite à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1.

1.2.3 Théorème

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de centre a
f est continue au point a si et seulement si f est continue à gauche et à droite à a

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

	f(x) =	x²-4	si x ≤ -3
	f(x) =	√(2x²-x+4)	si x > -3

Etudier la continuité de f au point -3.

Correction

On remplace la valeur x=-3 dans l'expression f(x)=x²-4 car l'expression f(x)=√(2x²-x+4) est définie pour des valeurs supérieurs strictement à -3 donc f(2)=(-3)²-4=5 et f est continue par construction à gauche à -3.

lim
(-3)⁺

f(x)

=