Mathématiques du secondaire qualifiant

Limites et Continuité (2)

1.2 Continuité à droite et continuité à gauche

1.2.1 Continuité à droite

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a;a+r[ avec r>0.
On dit que f est continue à droite à a si


lim
a+
f(x) = f(a)

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | x - 7|.
Montrer que f est continue à droite à 7.

Correction
On a f(7) = |7-7| = 0

x -∞7 +∞
x - 7 -0 +

lim
7+
f(x) =
lim
7+
x - 7 = 0 = f(7)

ainsi f est continue à droite à 7.

1.2.2 Continuité à gauche

Définition
Soit f est fonction définie sur un intervalle de la forme ]a-r;a] avec r>0.
On dit que f est continue à gauche à a si


lim
a-
f(x) = f(a)

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par

{f(x) = x²-1
|x-1|
f(1) = 2

Etudier la continuité de la fonction f à gauche à 1 et à droite à 1.
Est ce que f admet une limite au point 1 ? et déduire la continuité de f au point 1.

Correction
On a f(1) = 2 .

x -∞1 +∞
x - 1 -0 +

lim
1-
f(x) =
lim
1-
(x-1)(x+1)
-(x-1)
=
lim
1-
- (x+1) -2 ≠ f(1)

ainsi f n'est pas continue à gauche à 1.


lim
1+
f(x) =
lim
1-
(x-1)(x+1)
(x-1)
=
lim
1-
(x+1) 2 = f(1)

ainsi f est continue à droite à 1.
f n'admet pas de limite au point 1 car la limite à droite à 1 est différente à la limite à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1.

1.2.3 Théorème

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de centre a
f est continue au point a si et seulement si f est continue à gauche et à droite à a

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = x²-4 si x ≤ -3
f(x) = √(2x²-x+4) si x > -3

Etudier la continuité de f au point -3.

Correction

On remplace la valeur x=-3 dans l'expression f(x)=x²-4 car l'expression f(x)=√(2x²-x+4) est définie pour des valeurs supérieurs strictement à -3 donc f(2)=(-3)²-4=5 et f est continue par construction à gauche à -3.


lim
(-3)+
f(x) =
lim
(-3)+
√(2x²-x+4)

= √[2.(-3)²-(-3)+4] = √(25) = 5 = f(-3)
donc f est aussi continue à droite à -3
alors f est continue au point -3.