Limites et Continuité (3)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 2x²-13 | si x < 2 | |
| f(x) = | x-3 | si x > 2 | |
| f(2) = | a | si x = 2 |
1) Déterminer D.
2) Montrer que f admet une limite finie L au point 2, qui doit être spécifiée.
3) Déduire la valeur de a pour que f soit continue au point 2.
1.3 Continuité sur un intervalle
1.3.1 Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle I
On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de l'intervalle I.
1.3.2 Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé [a;b].
f est continue sur [a;b] si les condtions suivantes sont vérifiées
1) f est continue en tout point de l'intervalle ouvert ]a;b[.
2) f est continue à droite à a.
3) f est continue à gauche à b.
Exercice 2 tp
Soit f un fonction définie par
| f(x) = | -x² | si -2 < x < 1 | |
| f(-2) = | -4 | si x=-2 | |
| f(x) = | 2(x-1)²-3 | si x≥ 1 |
Etudier la continuité de f aux points -2 et 1.
Correction
On a f(-2) = - 4 .
lim (-2)+ | f(x) = | lim (-2)+ | -x² |
= -(-2)² = -4
| donc | lim (-2)+ | f(x) = f(-2) |
ainsi f est continue au point -2.
On a f(1)= 2(1-1)²-3 = -3 donc par construction de la fonction f.
lim 1+ | f(x) = | lim 1+ | 2(x-1)²-3 |
= 2(1-1)²-3 = -3 = f(1).
Donc
lim 1+ | f(x) = f(1) |
ainsi f est continue à droite à 1.
lim 1- | f(x) = | lim 1- | -x² |
= -1² = -1 ≠ f(1)
| Donc | lim 1- | f(x) ≠ f(1) |
ainsi f n'est pas continue à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1.
On dit que f est discontinue au point 1.
