Mathématiques du secondaire qualifiant

Limites et Continuité (3)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = 2x²-13 si x < 2
f(x) = x-3 si x > 2
f(2) = a si x = 2

1) Déterminer D.
2) Montrer que f admet une limite finie L au point 2, qui doit être spécifiée.
3) Déduire la valeur de a pour que f soit continue au point 2.

1.3 Continuité sur un intervalle

1.3.1 Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I
On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de l'intervalle I.

1.3.2 Définition 2

Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé [a;b].
f est continue sur [a;b] si les condtions suivantes sont vérifiées
1) f est continue en tout point de l'intervalle ouvert ]a;b[.
2) f est continue à droite à a.
3) f est continue à gauche à b.

Exercice 2 tp

Soit f un fonction définie par
f(x) = -x² si -2 < x < 1
f(-2) = -4 si x=-2
f(x) = 2(x-1)²-3 si x≥ 1

Etudier la continuité de f aux points -2 et 1.

Correction

On a f(-2) = - 4 .


lim
(-2)+
f(x) =
lim
(-2)+
-x²

= -(-2)² = -4

donc
lim
(-2)+
f(x) = f(-2)

ainsi f est continue au point -2.
On a f(1)= 2(1-1)²-3 = -3 donc par construction de la fonction f.


lim
1+
f(x) =
lim
1+
2(x-1)²-3

= 2(1-1)²-3 = -3 = f(1).

Donc


lim
1+
f(x) = f(1)

ainsi f est continue à droite à 1.


lim
1-
f(x) =
lim
1-
-x²

= -1² = -1 ≠ f(1)

Donc
lim
1-
f(x) ≠ f(1)

ainsi f n'est pas continue à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1.

On dit que f est discontinue au point 1.