Limites et Continuité (6)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 2x²-13 | si x < 2 | |
| f(x) = | x-3 | si x > 2 | |
| f(2) = | L | si x=2 |
1) Déterminer D.
2) Déterminer L pour que f soit continue au point 2.
Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x+sinx | si x≠0 | |
| x | |||
| f(0) = | L | si x = 0 |
1) Montrer que f est continue sur IR*.
2) Déterminer L pour que f soit continue au point 0.
Correction
1) f est définie si x≠0 donc D=IR* et puisque f(0)=L alors f est définie au point 0
ainsi D=IR.
La fonction x→2x+sinx est la somme de deux fonctions continues sur IR et en particulier sur IR*.
La fonction x→x est continue et ne s'annule pas sur IR*.
La fonction f est donc continue sur IR*.
2) On calcule la limite de f au point 0.
lim 0 | f(x) = | lim 0 |
2x | + | sinx |
| x | x |
en utilisant les deux limites usuelles
lim 0 | x = 0 | lim 0 |
sinx | = 1 | |
| x |
on déduit que
lim 0 | f(x) = 2+1 = 3∈IR |
Donc f admet une limite finie au point 0 et donc f est continue au point 0 si L=3
ainsi la fonction f définie de IR vers IR par
| f(x) = | 2x+sinx | si x≠0 | |
| x | |||
| f(0) = | 3 | si x = 0 |
est continue sur IR.