Limites et Continuité (5)
1.4.3 fonctions trigonométriques
Propriété
1) Les fonctions sin et cos sont continues sur IR.
2) La fonction tan est continue sur tout intervalle de la forme
| ]- | π | +kπ | π | +kπ[ avec k∈ℤ |
| 2 | 2 |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| { | f(x) = | 2x+sinx | si x≠0 |
| x | |||
| f(0) = | 3 | si x=0 |
1) Montrer que f est continue sur IR*.
2) f est elle continuité au point 0 ?
Correction
1) f est définie sur D=IR car (f(0)=3 donc 0 admet une image par f).
La fonction x→2x+sinx est la somme de deux fonctions continues sur IR en particulier sur IR*.
La fonction x→x est continue sur IR en particulier sur IR*
de plus ne s'annule pas sur IR*
ainsi la fonction f est continue sur IR*.
2) Limite au point 0
lim 0 | f(x) = | lim 0 |
2x | + | sinx |
| x | x |
| = | lim 0 |
2 + | sinx |
| x |
| on a | lim 0 | sinx | = 1 |
| x |
donc
lim 0 | f(x) = 2+1 = 3 = f(0) |
ainsi f est continue au point 0.
f est continue sur IR* et continue au point 0 alors f est continue sur IR.
1.4.4 Fonction √
Propriété
La fonction x→√(x) est continue sur IR+.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = sinx +√(x).
Etudier la continuité de f sur D.
Correction
1) f est la somme de deux fonctions
f = sin + √.
D=IR∩[0;+∞[ donc D=[0;+∞[.
2) sin est continue sur IR donc elle est continue sur [0;+∞[
et √ est continue sur [0;+∞[ donc f est continue sur [0;+∞[.
1.4.5 Partie entière E(x)
Rappel
Soit x un réel.
E(x)=a ⇔ a≤ x < a+1 avec a∈ℤ
⇔ x∈[a ; a+1[.
Exemples
1) E(0,5)=0.
2) E(3,14)=3.
3) E(-12,7)=-13.
4) E(-√7)=-3.
5) E(-8)=-8.
Propriété
La fonction E(x) n'est pas continue sur IR mais elle est continue sur chaque intervalle [n;n+1[ avec n∈ℤ.
