2.2 Continuité de la composée de deux fonctions

2.2.1 Définition (Rappel)

Soient f une fonctions définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I)⊂J.
La composée de f et g notée gof est une fonction définie comme suit
(∀x∈I) : gof(x)= g(f(x)).

2.2.2 Propriété 1

Si f est définie et continue sur un intervalle I et g est définie et continue sur un intervalle J contenant f(I) alors gof est continue sur l'intervalle I.

2.2.3 Propriété 2

Si une fonction f est continue en a et une fonction g est continue en f(a) alors gof est continue en a.

Exemple
Soit f une fonction définie par: f(x)=cos(2x+1).
Etudier la continuité de f sur D.

Correction
f est la composée de la fonction cos et la fonction affine u: x→2x+1
les fonctions u et cos sont continues sur IR
donc cos est continue sur u(IR)
ainsi f est continue sur IR.

2.2.4 Résultat

Si f est une fonction positive et continue sur un intervalle I alors √(f) est une fonction continue sur I.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)= √(x²-1)-x.
Etudier la continuité de f sur D.

2.2.5 Limite de la composée d’une fonction continue et une fonction qui admet une limite

Propriété: Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant f(I)

et g est continue en L

Remarque: La propriété reste vraie quand x→±∞.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

Calculer

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

Calculer les limites suivantes