Limites et Continuité (10)
Rappel
Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et r∈ℚ*
Si f est continue et strictement positive sur I alors la fonction fr est continue sur I.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=(x²+1)2/3
Montrer que f est continue sur IR
Correction
La fonction x→ x²+1 est strictement positive sur IR
de plus elle est continue sur IR car est un polynôme
ainsi la fonction f est continue sur IR.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = (x²-1)3/4
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la continuité de f sur D
Correction
1) D={x∈IR /x²-1 > 0}
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
| x²-1 | + | 0 | - | 0 | + |
Donc D=]-∞;-1[∪]1;+∞[
2) x→ x²-1 est strictement positive sur D
de plus elle est continue sur D car est une restriction d'une fonction polynôme .
Ainsi la fonction f est continue sur D
Exercice 1 tp
Résoudre dans IR l'équation (E)
5(4-x)/x = 252/x²
Correction
L'équation (E) est définie si x≠0
donc D = IR*
Soit x ∈IR*
(E) ⇔ 5(4-x)/x = 52.2/x²
| ⇔ | 4-x | = | 4 |
| x | x² |
| ⇔ | 4 | - 1 = ( | 2 | )² |
| x | x | |||
| ⇔ ( | 2 | )² - 2. | 2 | + 1 = 0 |
| x | x |
| On pose | 2 | = X |
| x |
Donc (E) ⇔ X² - 2X + 1 = 0
⇔ (X-1)² = 0
⇔ X = 1
| Et donc x = | 1 |
| 2 |
| Ainsi S = { | 1 | } |
| 2 |