Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie comme suit

{	f(x) =	√(x+4)	si x∈[-4;0]
	f(x) =	x²+2	si x∈]0;4]

1) Etudier la continuité de f
sur I=[-4;4].
2) Déterminer f(I).

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définue par

f(x) =	∛(x²+4) - 2
	x + 2

Calculer

lim -2

f(x)

et déduire que f est prolongeable par continuité au point -2

Correction

On cherche la limite de f au point -2

lim -2	f(x) =	lim -2	∛(x²+4) - 2
			x + 2

Pour se débarasser de la forme indéterminée , on utilise l'identité remarquable suivante
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + c²)

Donc

lim -2

f(x) =

lim -2	(∛(x²+4))³ - 2³
	(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)

=	lim -2	x² + 4 - 8
		(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)

=	lim -2	(x -2)(x + 2)
		(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)
=	lim -2	x - 2
		∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4

On a

lim -2

∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Donc

lim -2	f(x) =	-2 - 2	=	- 1
		12		3

Et donc f admet une limite finie au point -2 alors f est prolongeable par continuité au point -2

Et sa prolongement la fonction g définie par

	g(x) =	∛(x²+4) - 2	si x ≠ -2
		x + 2
	g( - 2 ) =	-1	si x = -2
		3

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie sur ]-2;2] par

{	f(x) =	x-2	si x≠2
		√(4-x²)
	f(2) =	m

Trouver m pour que f soit continue en 2.