Limites et continuité (3)
Rappel
Toute fonction polynôme est continue sur IR
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Exercice 1 tp
Soient f et g deux fonctions numériques définies par
f(x) = 2x³+x²+3
| g(x) = | 3x+1 |
| x²-1 |
Etudier la continuité de f et de g
Correction
1) f est une fonction polynôme donc continue sur IR
2) g est définie si x²-1≠0 ou encore si (x≠-1 et x≠1)
donc Dg=IR\{-1;1}
g est une fonction rationnelle donc elle est continue sur Dg
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = -x²+4x | si x≤2 | |
| f(x) = x+2 | si x>2 |
Etudier la continuité de f sur IR
Correction
1) On étudie la continuité de f sur l'intervalle ouvert ]-∞ ; 2[
La fonction x→-x²+4x est la restriction d'une fonction polynôme
sur ]-∞ ; 2[
donc continue sur IR
Et en particulier f est continue
sur ]-∞ ; 2[
ainsi f est continue sur ]-∞ ; 2[
2) On étudie la continuité de f sur l'intervalle ouvert ]2 ; +∞[
La fonction x→x+2 est la restriction d'une fonction polynôme
sur ]2 ; +∞[
donc continue sur IR
Et en particulier sur ]2 ; +∞[
ainsi f est continue sur ]2 ; +∞[
3) On étudie la continuité de f au point 2
On a f(2)=-2²+4.2=4
lim 2- | f(x) = | lim 2- | -x²+4x |
| = | -4+8 | = 4 | = f(2) |
Donc f est continue à gauche à 2
lim 2+ | f(x) = | lim 2+ | x+2 |
| = | 2+2 | = 4 | = f(2) |
Donc f est aussi continue à droite à 2
f est donc continue à droite à 2 et continue à gauche à 2
Ainsi f est continue au point 2
f est donc continue sur ]-∞;2[; ]2;+∞[ et au point 2
alors f est continue sur IR
Exercice 3 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = x² + 4x + | 1 |
| x-1 |
1) Déterminer D le domaine de définition de f
2) Etudier la continuité de f sur D.