Limites et continuité (5)
Rappel
Soient f une fonctions définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I)⊂J
1) Le composé de f et g est une fonction, notée gof définie comme suit
(∀x∈I): gof(x)=g(f(x)).
| I | f → |
J | g → |
IR |
| x | → | f(x) | → | g(f(x)) |
| I | gof → |
IR | ||
2) Si f est définie et continue sur un intervalle I et g est définie et continue sur un intervalle J contenant f(I) alors gof est continue sur un intervalle I
3) Si f est continue en a et g est continue en f(a) alors gof est continue en a
a→f(a)→ g(f(a))
4) Si f est positive et continue sur I alors √f est continue sur I
5) Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant f(I)
| Si | lim a |
f(x) = L |
et g est continue en L
| Alors | lim a | gof(x) = g(L) |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x) = √(x²-1)-x
Etudier la continuité de f sur D
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
f(x) = sin(x²+x+1)
Etudier la continuité de f sur IR
Exercice 3 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = √( | x²-25 | ) |
| x-5 |
Calculer
lim 5 | f(x) |
Correction
lim 5 | x²-25 | = | lim 5 |
x + 5 = 10 |
| x-5 |
La fonction √ est continue au point 10
| Donc | lim 5 | f(x) = √(10) |
Exercice 4 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = √( | 5x-10 | ) |
| x+2 |
Calculer les limites suivantes
lim -∞ | f(x) | lim +∞ | f(x) | |
lim (-2)- | f(x) | lim 2 | f(x) |