Mathématiques du secondaire qualifiant

Limites et continuité (5)

Rappel
Soient f une fonctions définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I)⊂J
1) Le composé de f et g est une fonction, notée gof définie comme suit
(∀x∈I): gof(x)=g(f(x)).

I f
J g

IR
x f(x) g(f(x))
I gof
IR

2) Si f est définie et continue sur un intervalle I et g est définie et continue sur un intervalle J contenant f(I) alors gof est continue sur un intervalle I

3) Si f est continue en a et g est continue en f(a) alors gof est continue en a
a→f(a)→ g(f(a))
4) Si f est positive et continue sur I alors √f est continue sur I

5) Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant f(I)

Si
lim
a
f(x) = L

et g est continue en L

Alors
lim
a
gof(x) = g(L)
Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = √(x²-1)-x
Etudier la continuité de f sur D

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = sin(x²+x+1)
Etudier la continuité de f sur IR

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = √(x²-25)
x-5

Calculer


lim
5
f(x)
Correction

lim
5
x²-25 =
lim
5
x + 5 = 10
x-5

La fonction √ est continue au point 10

Donc
lim
5
f(x) = √(10)
Exercice 4 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = √(5x-10)
x+2

Calculer les limites suivantes


lim
-∞
f(x)
lim
+∞
f(x)

lim
(-2)-
f(x)
lim
2
f(x)