Rappel
Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction définie et continue sur l'intervalle I=[a;b], a < b
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur I

Corollaire de la valeur intermédiaire Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur [a;b], a< b
pour tout réel k, compris entre f(a) et f(b) l'équation f(x)=k admet une seule solution sur [a;b].

Remarque
Si f n'est pas définie en a ou en b, le théorème reste vrai en considérant la limite en a ou en b.

Résultats
1) Si f est continue sur I=[a;b] et f(a).f(b) < 0 alors l'équation f(x)= 0 admet au moins une solution dans I

2) Si f est continue, strictement monotone sur I et f(a).f(b) < 0 alors l'équation f(x)= 0 admet une solution unique x₀ dans I tel que a < x₀ < b

Exercice 1 tp

Montrer que l'équation x - cosx = 0 admet une solution unique dans l'intervalle

Correction

Pour montrer que l'équation
(E): x - cosx = 0 admet une solution unique dans l'intervalle I
on considère la fonction f définie par
f(x) = x - cosx
On a f(0) = 0 - cos0 = -1 < 0

D'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans I

Alors pour savoir si la solution est unique on étudie la monotonie de f
Soit x;y∈I tels que x < y
La fonction cos est strictement décroissante sur [0 ; π] en particulier sur I
donc cosx > cosy ⇔ -cosx < -cosy
donc x + (-cosx) < y + (-cosy)
Ou encore f(x) < f(y) et donc f est strictement croissante sur I
D'après le théorème de la valeur intermédiaire l'équation (E) admet une seule solution dans I

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = x³ - 4x² + 4x - 1
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution t unique dans I=[2 ; 3] et donner une approximation de t d'amplitude 0,25

Correction

f(2) = 2³-4.2²+4.2-1 = -1 < 0
f(3) = 3³-4.3²+4.3-1 = 2 > 0
f est une fonction polynôme, donc continue sur IR et en particulier sur I . D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans I

Alors pour savoir si la solution est unique on étudie la monotonie de f
f est une fonction polynôme, donc dérivable sur IR et en particulier sur I
f'(x)=3x²-8x+4 étudions le signe de f '

[2 ; 3]⊂[2 ; +∞[ . Donc f est strictement croissante sur [2;3]
f est continue sur IR donc continue sur [2;3]

D'après le théorème de la V.I
∃!a∈[2;3], f(a)=0 . Ainsi l'équation admet une solution unique dans I=[2;3]
Méthode de dichotomie
1) 2,5 est le centre de I donc a∈[2 ; 2,5] ou a∈[2,5 ; 3]
f(2,5)=-0,375<0 et f(3)>0 et d'après le TVI, a∈J=]2,5 ; 3[; (d'amplitude 3-2,5=0,5).

2) 2,75 est le centre de J
et f(2,75)=0,54.. >0 donc a∈]2,5 ; 2,75[
(d'amplitude 2,75-2,5=0,25)
alors ]2,5 ; 2,75[ est un encadrement de a d'amplitude 0,25.