1- Fonction logarithme népérien

1.1 Définition et Propriétés

1.1.1 Définition

La fonction primitive de la fonction suivante

définie sur IR^+* et qui s'annule en 1 est appelée fonction logarithme népérien, notée ln.

1.1.2 Résultats

1) D_ln = ]0;+∞[.
2) La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[
et on a ∀x∈]0;+∞[

3) La fonction ln est strictement croissante sur IR^+*.

1.1.3 Propriétés

ln(1)=0
Si 0 < x < 1 alors lnx < 0.
Si x > 1 alors lnx > 0.
(∀x;y∈]0;+∞[): lnx = lny ⇔ x = y.
(∀x;y∈]0;+∞[): lnx < lny ⇔ x < y.

Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions définies par
f(x) = ln(x+1) et g(x) = ln(x²-4).
Déterminer D_f et D_g.

Correction

D_f = {x∈IR / x+1 > 0} donc D_f = ]-1 ; +∞[.
D_g = {x∈IR / x²-4 > 0}

donc D_g = ]-∞ ; -2[∪]2 ; +∞[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation suivantes
ln(x+1) = ln(2x).

Correction

L'équation l(x+1)=ln2x est définie si
x+1>0 et 2x>0
ou encore si x>-1 et x>0
donc D=]0 ; +∞[. Soit x∈]0;+∞[
l(x+1) = ln2x⇔ x+1 = 2x
⇔ x+1=2x ⇔ x-2x+1 = 0 ⇔ -x=-1
donc x=1 et puisque 1∈D alors 1 est une solution de l'équation
Ainsi S = {1}.

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
ln(2x+2) = ln(x+5).

Correction

L'équation ln(2x+2)=ln(x+5) est définie si:
2x+2>0 et x+5>0
ou encore x≥-1 et x≥-5
donc x ≥ -1;( on prend le plus grand )
ainsi D = ]-1 ; +∞[. Soit x∈]-1 ; +∞[
ln(2x+2) = ln(x+5) ⇔ 2x+2 = x+5

⇔ 2x+2 = x+4 ⇔ 2x+2-x = 5
⇔x = 5-2 = 3
et puisque 3∈]-1 ; +∞[ alors S = {3}.

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I) ln(x+2) ≥ 0.

Correction

(I) est définie si x+2 > 0
ou encore si x > -2
donc D1 = ]-2 ; +∞[. Soit x∈D1
on a ln(1) = 0

(I) ⇔ ln(x+2) ≥ ln(1)
⇔ x+2 ≥ 1
⇔ x ≥ -1
⇔ x∈ [-1 ; +∞[
donc S = [-1 ; +∞[ ∩]-2 ; +∞[
ainsi S = [-1 ; +∞[.

Exercice 5 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I) ln(x+2) ≤ ln(2-x).