1.2 Proprités algébriques

1.2.1 propriété 1

Soient x et y deux nombres réels de ]0;+∞[
ln(xy) = ln(x) + ln(y).

démonstration Soit x∈]0;+∞[

On considère un élément a > 0

Donc ln'(ax) = ln'(x)
ou encore ln(ax) = ln(x) + k tel que k∈IR
On a ln(1) = 0 donc ln(1.a) = ln(1) + k
ou encore ln(a) = 0 + k
donc k = ln(a) ainsi ln(a.x) = ln(a) + ln(x) cqfd.

Exercice 1 tp

1) Si on donne ln(2)≃0,7 et ln(7)≃1,95
Calculer ln(14).
2) Si on donne ln(25)≃3,2
Calculer ln5.

Résultats Soint x; y∈]0 ; +∞[.
1) ln(x²) = 2lnx.
2) (∀n∈IN): lnxⁿ=nlnx.

Démonstration de 4) et 5)
Soit y∈]0 ; +∞[

donc

La propriété 5) est une conséquence de 4)

donc

1.2.2 propriété 2

Soient x∈IR^+* et r∈ℚ
lnx^r = rlnx.

Exercice 2 tp

Simplifier: ln8 + ln12 - ln18.

1.2.3 Le nombre exponentielle e

La fonction ln est définie de I = ]0 ; +∞[ vers IR
et continue et strictement croissante sur I donc l'équation ln(x) = 1 admet une solution unique dans I, noté e
ln(e) = 1 et e ≃ 2,718.

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes
1) lnx = 3
2) lnx = -2

Correction

1) L'équation ln(x)=3 est définie
Si x∈]0 ; +∞[ donc D = ]0 ; +∞[.
ln(x) = 3 ⇔ ln(x) = 3.1
⇔ ln(x) = 3lne car ln(e) = 1
⇔ ln(x) = ln(e³)

⇔ x = e³
e³∈D alors S = { e³ }.
2) L'équation ln(x)=3 est définie
Si x∈]0 ; +∞[ donc D = ]0 ; +∞[.
Soit x∈D
ln(x) = -2 ⇔ ln(x) = -2.1
⇔ ln(x)=-2lne ⇔ ln(x)=lne^-2
⇔ x = e^-2
e^-2∈D alors S = { e^-2 }.