دالة اللوغاريتم (3)
5- دالة اللوغاريتم للاساس a
5.1 تعريف وخاصيات
5.1.1 تعريف
ليكن a عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف العدد 1
دالة اللوغاريتم للاساس a هي الدالة التي نرمز لها ب loga ومعرفة على IR*+ ب :
| loga(x)= | lnx |
| lna |
5.1.2 مثال :
دالة اللوغاريتم للاساس 3
| log3(5)= | ln5 |
| ln3 |
5.2 خاصيات 1
ليكن a>0 و a≠1 و n∈IN* و x>0 و y>0
الدالة loga متصلة وقابلة للاشتقاق على
]0;+∞[ ولدينا
| ∀x∈IR*+: | (loga)'(x)= | 1 |
| xlna |
| loga(1) = 0 |
|---|
| loga (a)= 1 |
| loga(x)=loga(y) ⇔ x=y |
| loga(x)=r ⇔ x=ar; r∈IR |
| loga(xy)=loga(x)+loga(y); |
| loga(xr) = rloga(x) ; r∈IR |
| loga | 1 | = -loga(x) |
|---|---|---|
| x | ||
| loga | x | = loga(x)-loga(y) |
| y |
5.2.2 خاصيات 2
ليكن x;y∈IR*+
اذا كان a>1 فان x < y ⇔ loga(x) < loga(y)
اذا كان
0< a < 1 فان x < y ⇔ loga(x) > loga(y)
5.3 دالة اللوغاريتم العشري
5.3.1 تعريف
دالة اللوغاريتم العشري هي دالة اللوغاريتم للاساس 10 ونرمز لها باختصار log
log معرفة على IR*+ ب
| log(x)= | lnx |
| ln10 |
5.3.2 مثال :
| log(7)= | ln7 |
| ln10 |
5.4 خاصية
ليكن x>0
الدالة log معرفة وقابلة للاشتقاق على
]0;+∞[ ولدينا
| ∀x∈IR*+: | (log)'(x)= | 1 |
| xln10 |
تمرين 1
احسب log(0,0001) ; log3(81)
تمرين 2
حل في IR المعادلات التالية :
1) log(2x+3)= 1 ;
2) (log3)²(x)-4log3(x)+3=0
3) ln(x-2) + ln(x-3) = ln2.
تمرين 3
حل في IR المتراجحات التالية :
1) log0,5(x-3)< 4
2) ln²(x)-4ln(x)+3>0
3) ln²(x)-8ln(√x)+3< 0.