نهايات اخرى

lim0	ln(x+1)	=1
	x
lim1	lnx	=1
	x-1
lim+∞	ln x	=0
	x

lim+∞	lnx	=0 ; n∈IN*
	xn

lim0+xlnx=0

;

lim0+xnlnx=0 ; n∈IN*

تمرين 1

بسط
1) a=ln2 +ln12 - ln9
2) b=ln3^-1 + ln3.5^-1 + ln5.7^-1 + ln7.3^-1
3) c=ln(√2 +1)²⁰²⁰ + ln(√2 -1)²⁰²⁰

تمرين 2

حل المتراجحات التالية
1) ln(x+2)≥0 ; ln(x-1)≤2
2) ln(2x)+ln(x+1)>0
3) ln(x+1)+lnx²< ln2
4) 2ln²(x-1)-3ln(x-1)+1<0

تمرين 3

احسب النهايات التالية

lim0+	1	+lnx (1
	x

2) lim_+∞ x² - lnx

تمرين 4

احسب النهايات التالية
1) lim(_+∞) x-lnx ; lim(₀₊)ln²(x)-3x²

تمرين 5

احسب النهايات التالية

3- مشتقة دالة لوغاريتمية

3.1 الدالة f→ln(u(x))

3.1.1 مجموعة تعريف الدالة f

D= { x∈R/ x∈Du et u(x)>0}

3.1.2 خاصية 1

اذا كانت دالة u متصلة وتزايدية قطعا على مجال I
فان الدالة f=ln o u متصلة على I

3.1.3 خاصية 2

اذا كانت دالة u قابلة للاشتقاق وتزايدية قطعا على مجال I فان الدالة f= ln o u قابلة للاشتقاق على I ولدينا

برهان

نعلم ان ln قابلة للاشتقاق على IR*+ و u(I)⊂IR*+ لان u(x)>0 ولدينا u قابلة للاشتقاق على I اذن f قابلة للاشتقاق على I,
ليكن x∈I,
f'(x)=(ln o u)'(x)= ln'(u(x)).u'(x)
اذن :

3.1.3 مثال

لتكن f دالة معرفة ب : f(x)=ln(x+3)
ادرس رتابة f على D.

تصحيح

لدينا D=]-3;+∞[ والدالة x→x+3 قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على D اذن f قابلة للاشتقاق على D
ولدينا

3.2 الدالة : f→ln(|u(x)|)

3.2.1 خاصية

اذا كانت u دالة غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على I فان الدالة f المعرفة ب f(x)=ln(|u(x)|) قابلة للاشتقاق على I ولدينا

3.2.2 مثال

لتكن f دالة معرفة ب :
f(x)=ln(|x²-2x-3|)
ادرس رتابة الدالة f على D.

تصحيح

x²-2x-3=0 ⇔ x=-1 او x=3
اذن D=]-∞;-1[∪]-1;3[∪]3;+∞[
الدالة x→x²-2x-3 غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على D اذن f قابلة للاشتقاق على D ولدينا

تمرين 1

ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f المعرفة ب

تمرين 2

حدد مجموعة تعريف الدالة f في كل من الحالات التالية
1) f(x)=ln(4-2x)
2) f(x)=ln(x²-4x)²
3) f(x)=ln(2x²-5x+3)

4- الدوال الاصلية للدالة

4.1 تذكير

اذا كانت u دالة غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f المعرفة ب : f(x)=ln(|u(x)|) قابلة للاشتقاق على I ولدينا

4.2 خاصية

اذا كانت u دالة غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على مجال I فان الدوال x→ln(|u(x)|)+k, k∈IR هي الدوال الاصلية

x→	u'(x)	للدالة
	u(x)

تمرين 1:

حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة ب

تصحيح

نلاحظ ان الدالة x→x²+x+2 موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على IR لان (Δ< 0)
و (x²+x+2)'=2x+1 اذن الدوال x→ln(x²+x+2)+k حيث k∈IR هي الدوال الاصلية للدالة f

تمرين 2:

حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة ب

تصحيح

لدينا D=]-∞;-2[∪]-2;2[ ∪]2;+∞[
و x→x⁴-16 قابلة للاشتقاق ولا تنعدم على D
اذن الدوال x→-ln(|x⁴-16|)+k ; k∈IR هي الدوال الاصلية للدالة f.