2- Dérivée logarithmique

2.1 Dérivée de f: x→ln(u(x))

2.1.1 Domaine de définition de f

Soient f et u deux fonctions numériques
tels que f(x) = ln(u(x) et D_u le domaine de définition de u.
Le domaine de définition de f est défini par
D={x∈IR/ x∈D_u et u(x)>0}.

Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(√(x-1) - 2).
Déterminer D.

Correction
D = {x∈IR / (x-1≥0) et (√(x-1) - 2) > 0}
= {x∈IR / x≥1 et x-1 > 4}
= {x∈IR / x≥1 et x > 3}
ainsi D = ]3 ; +∞[.

2.1.2 Propriété 1

Si une fonction u est continue et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction f définie par f(x)=ln(u(x)) est continue sur I.

2.1.3 Propriété 2

Si une fonction u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction f définie par f(x)=ln(u(x)) est dérivable sur I et on a (∀x∈I)

Démonstration
La fonction ln est dérivable sur IR^+*
et u(I)⊂IR^+* car u(x)>0.
On a u est dérivable sur I donc f est dérivable sur I. Soit x∈I
f'(x)=(ln o u)'(x)= ln'(u(x)).u'(x)
donc (∀x∈I)

Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)=ln(x+3) étudier la dérivabilité de f sur D.

Correction
D=]-3;+∞[ et x→x+3 est dérivable et strictement positive sur D donc f est dérivable sur D. Soit x∈D

2.2 Fonction: f→ln(|u(x)|)

2.2.1 Propriété

Si u est une fonction non nulle et dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par
f(x) = ln(|u(x)|) est dérivable sur I
et on a (∀x∈I)

2.2.2 Exemple

Soit f une fonction définie par
f(x)=ln(|x²-2x-3|).
Etudier la dérivabilité de f sur D.

Correction
x²-2x-3=0 ⇔ x=-1 ou x=3
donc D=]-∞;-1[∪]-1;3[∪]3;+∞[.
La fonction x→x²-2x-3 est non nulle et dérivable sur D donc f est dérivable sur D

Et on a ∀x∈D

ainsi ∀x∈D

Exercice 1 tp

Etudier la dérivabilité de la fonction f définie par