Fonctions Logarithmes (6)
2.3 Primitives de la fonction
| x→ | u'(x) |
| u(x) |
2.3.1 Rappel
Si u est une fonction non nulle et dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par
f(x)=ln(|u(x)|) est dérivable sur I et (∀x∈I):
| f'(x) = | u'(x) |
| u(x) |
2.3.2 Propriété
Si u est non nulle et dérivable sur I alors les fonctions Fk définies par
Fk(x)=ln(|u(x)|)+k avec k∈IR sont les fonctions primitives de la fonction
| x→ | u'(x) |
| u(x) |
Exemple 1
Déterminer les fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | 2x+1 |
| x²+x+2 |
Correction
La fonction x→x²+x+2 est strictement positive et dérivable sur IR car Δ<0
et (x²+x+2)'=2x+1 donc les fonctions Fk définies par
Fk(x)=ln(x²+x+2)+k avec k∈IR sont les fonctions primitives de la fonction f sur IR.
Exemple 2
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | -4x³ |
| x4-81 |
Correction
D=]-∞;-3[∪]-3;3[ ∪]3;+∞[
x→x4-81 est dérivable et ne s'annule pas sur D donc l'ensemble des fonctions Fk définies par
Fk(x)=-ln(|x4-81|)+k avec k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f sur D.
Exemple 3
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | cos(x) |
| sin(x) + 2 |
Correction
(∀x∈IR) on a sin(x) + 2 > 0
car -1 ≤ sinx ≤ 1
donc D = IR.
La fonction x→sin(x) + 2 est dérivable et ne s'annule pas sur D. Soit x∈D
| f(x) = | (sin(x) + 2)' | = (ln(|sin(x) + 2|))' |
| sin(x) + 2 |
(∀x∈IR) on a sin(x) + 2 > 0 donc
l'ensemble des fonctions Fk définies par
Fk(x)=-ln(sin(x) + 2)+k avec k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f sur IR.
Exemple 4
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | x |
| x+1 |
Correction
D={x∈IR / x+1≠ 0}
donc D=IR \ {-1}.
f est une fonction rationnelle donc continue sur son domaine de définition D et donc elle admet des fonctions primitives sur D.
On a
| f(x) = | x+1 - 1 |
| x+1 | |
| = 1 - | 1 |
| x+1 |
donc f(x) = (x)'- (ln|x+1|)'
alors l'ensemble des fonctions Fk définies par
Fk(x)= x - ln(| x + 1 |)+k avec k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f sur D.