Fonctions Logarithmes (7)
3- Fonction logarithme de base a
3.1 Définition et propriétés
3.1.1 Définition
Soit a un réel strictement positif et différent de 1.
On appelle fonction logarithme de base a une fonction notée loga et définie sur IR+* par
| loga(x) = | ln(x) |
| ln(a) |
Exemple
Fonction logarithme de base 3
| log3(5)= | ln(5) |
| ln(3) |
3.1.2 Propriétés (1)
Soit a∈IR+*\{1}.
La fonction loga est définie et dérivable
sur ]0;+∞[ et (∀x∈IR+*):
| (loga)'(x) = | 1 | |
| xlna |
Résultats
Soit a∈IR+*\{1}.
Si a > 1 alors la fonction loga est strictement croissante
sur I=]0 ; +∞[ et de plus
lim +∞ |
loga (x) | = +∞ |
lim 0+ |
loga (x) | = - ∞ |
Si 0 < a < 1 alors la fonction loga est strictement décroissante
sur I=]0 ; +∞[ et de plus
lim +∞ |
loga (x) | = -∞ |
lim 0+ |
loga (x) | = + ∞ |
3.1.3 Propriétés (2)
Soit a∈IR+*\{1} et x;y∈]0 ; +∞[.
| loga(1) = 0 | loga (a)= 1 |
| loga(x)=loga(y) | ⇔ | x=y |
| loga(x) = r | ⇔ | x=ar tel que r∈IR |
| loga(xy) | = | loga(x)+loga(y) |
| loga(xr) | = | rloga(x) tel que r∈IR |
| loga | 1 | = | - loga(x) |
| x |
| loga | x | = | loga(x) - loga(y) |
| y |
5.2.2 Propriétés 2
Soit x;y∈IR+*.
Si a>1 alors x<y ⇔ loga(x)<loga(y).
Si 0< a < 1 alors x<y ⇔ loga(x)>loga(y).
3.2 Fonction logarithme décimale
3.2.1 Définition
La fonction logarithme de base 10 est appelée fonction logarithme décimale et est notée log.
La fonction log est définie donc sur IR+* par
| log(x) = | lnx |
| ln10 |
Exemples
log(0,0001) = log(10-4) = -4
| log(7) = | ln7 |
| ln10 |
3.2.2 Propriété (3)
La fonction log est dérivable sur ]0;+∞[ et (∀x∈IR+*):
| (log)'(x) = | 1 |
| xln10 |