Exercice 1 tp

1) Si on prend ln(3)≃1,1 et ln(7)≃1,95
calculer ln(21).
ln est la fonction logaritme népérien.
2) Calculer
log(100000) ; log(0,001) ; log(10²⁰²²)
log est la fonction logarithme décimale.

Correction

1) 21 = 3×7 donc ln(21) = ln(3) + ln(7)
Et donc ln(21) ≃ 1,1 + 1,95
alors ln(21) ≃ 3,05.

2) log100000 = log10⁵ = 5log10 = 5.1 = 5
donc log100000 = 5
log(0,001) = log(10^-3) = -3log10 = -3
donc log(0,001) = -3
log(10²⁰²²) = 2022.

Exercice 2 tp

Si on pose ln(81) ≃ 4,4
calculer ln(9) et déduire ln(3).

Correction

81 = 9×9 donc ln(81) = ln(9) + ln(9)
donc 4,4 ≃ 2ln(9) alors ln(9) ≃ 2,2
On a également 9 = 3×3
donc ln(9) = ln(3) + ln(3) = 2ln(3)
ainsi 2,2 ≃ 2ln(3) alors ln(3) ≃ 1,1.

Exercice 3 tp

Simplifier E = ln(20)+ln(12)-ln(15).

Correction

Il existe plus qu'une méthode de répondre à cette question
ln(20) = ln(4×5) = ln(4) + ln(5)
ln(12) = ln(4×3) = ln(4) + ln(3)
ln(15) = ln(3×5) = ln(3) + ln(5)
ainsi
E = ln4 + ln5 + ln4 + ln3 - (ln3 + ln5)
= 2ln(4) = 2ln(2²)
alors E = 4ln(2).

Exercice 4 tp

Simplifier
A = ln2 +ln12 - ln9.

C = ln(√2 +1)²⁰²⁰ + ln(√2 -1)²⁰²⁰.

Exercice 5 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes

Correction

1) L'équation ln(x) = 0 est définie
si x∈]0 ; +∞[.

On a ln(1) = 0 donc
ln(x) = 0 ⇔ ln(x) = ln(1) ⇔ x = 1
Puisque 1∈]0 ; +∞[ alors S = { 1 }
2) L'équation ln(x) = 1 est définie
si x∈]0 ; +∞[
On a ln(e) = 1 donc
ln(x) = 1 ⇔ ln(x) = ln(e) ⇔ x = e
Puisque e∈]0 ; +∞[ alors S = { e }
3) L'équation ln(x) = 3 est définie
si x∈]0 ; +∞[
ln(x) = 3 = 3.1 ⇔ ln(x) = 3ln(e)

En utilisant la propriété ln(xⁿ) = n ln(x) on obtient
ln(x) = 3 ⇔ ln(x) = ln(e³) ⇔ x = e³
Puisque e³∈]0 ; +∞[ alors S={e³}.
4) L'équation ln(x + 3) = -2 est définie
si x+3 > 0
x+3 > 0 ⇔ x > -3
⇔ x∈]-3 ; +∞[
ln(x + 3) = -2 ⇔ ln(x + 3) = ln(e^-2)
⇔ x + 3 = e^-2 ⇔ x = -3 + e^-2
Puisque -3 + e^-2 > -3 alors S = { -3 + e^-2}.