Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes
1) lnx = 3
2) lnx = -2.

Correction

1) L'équation ln(x)=3 est définie
si x∈]0 ; +∞[ donc D = ]0 ; +∞[
ln(x) = 3 ⇔ ln(x) = 3.1
⇔ ln(x) = 3lne car ln(e) = 1
⇔ ln(x) = ln(e³)
⇔ x = e³
e³∈D alors S = { e³ }

2) L'équation ln(x)=3 est définie
si x∈]0 ; +∞[ donc D = ]0 ; +∞[
ln(x) = -2 ⇔ ln(x) = -2.1
⇔ ln(x) = -2lne⇔ ln(x) = lne^-2
⇔ x = e^-2
e^-2 ∈D alors S = { e^-2 }

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
ln(x+1) = ln(2x)

Correction

L'équation ln(x - 1) = ln(2x) est définie si

Ou encore si (x>1 et x>0)
ou encore si x>1 ( on prend le plus grand)
ainsi De = ]1 ; +∞[

Soit x∈]1 ; +∞[ on a
ln(x - 1) = ln(2x) ⇔ x - 1 = 2x
⇔ x - 1 = 2x ⇔ x - 2x - 1 = 0 ⇔ -x = 1
donc x = -1 et puisque -1∉De alors -1 n'est pas une solution de l'équation
et par conséquent S = ∅

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
ln(2x + 2) = ln(x + 5)

Correction

L'équation ln(2x + 2) = ln(x + 5) est définie si

Ou encore si (2x ≥ -2 et x ≥ -5)
ou encore si (x > -1 et x > -5)
donc l'équation est définie si x ≥ -1 ( on prend le plus grand)
ainsi De = ]-1 ; +∞[

Soit x∈]-1 ; +∞[
ln(2x + 2) = ln(x + 5) ⇔ 2x + 2 = x + 5
⇔ 2x + 2 = x + 4 ⇔ 2x + 2 - x = 5
⇔ x = 5 - 2 = 3
Puisque 3∈]-1 ; +∞[ alors S = { 3 }

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR l'équation
(ln)²(x) - 3 ln(x) = 0

Correction

1) L'équation (ln)²(x) - 3ln(x) = 0 est définie
si x∈]0 ; +∞[
Soit x∈]0 ; +∞[
(ln)²(x) - 3ln(x) = 0 ⇔ ln(x)(ln(x) - 3) = 0
⇔ (ln(x) = 0 ou ln(x) - 3 = 0)
⇔ (x = 1 ou ln(x) = 3)

⇔ (x = 1 ou x = e³)
Puisque (1 ; e³∈]0 ; +∞[)
alors S = {1 ; e³ }.