1- Fonctions primitives d’une fonction continue

1.1 Activité

Soit F une fonction dérivable et f sa fonction dérivée (F'=f).
Compléter le tableau

1) La fonction x→2x+2 est la fonction dérivée de la fonction x→x²+2x+3
tandis que la fonction x→x²+2x+3 est appelée une primitive de la fonction x→2x+2.
2) La fonction x→x²+2x+5 est aussi une primitive de la fonction x→2x+2.

3) la fonction x→√x est une primitive de la fonction

1.2 Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une fonction F est une primitive de f si
1) F est dérivable sur I
2) (∀x∈I): F'(x)=f(x).

1.3 Propriétés

1.3.1 Propriété 1

Toute fonction continue sur intervalle I admet des fonctions primitives sur I.

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par

Montrer que f admet des fonctions primitives dans IR et déterminer une fonction primitive de f.

Correction
f est une fonction rationnelle donc continue sur IR* et donc admet des fonctions primitives sur IR*.

est une primitive de f.

1.3.2 Propriété 2

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une de ses fonctions primitives.
L'ensemble des fonctions primitives de f sur I est égal à l'ensemble des fonctions de la forme F+k avec k est une constante.

Démonstration Soient F et G deux fonctions primitives de f sur I
donc F'(x)=G'(x)=f(x) ou encore (F-G)'(x)=0
donc F-G=k ainsi F=G+k avec k∈IR.

Remarque Les fonctions primitives de la fonction
x→xⁿ tel que n∈IN sont les fonctions

Exemple 1 Soit f une fonction définie par f(x)=2x.
La fonction F: x→x² est une fonction primitive de f
car (∀x∈IR) on a F'(x)=(x²)'=2x=f(x).

Ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F_k définies par
F_k(x)=x²+k avec k∈IR.

Exemple 2
Soit f une fonction définie par f(x)=3x²+2
la fonction F: x→x³+2x est une fonction primitive de f
car (∀x∈IR) on a F'(x)= (x³+2x)'= 3x²+2 =f(x)
ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F_k définies par
F_k(x)=x³+2x+k avec k∈IR.