Fonctions Primitives (2)
1.3.3 Propriété 3
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I
a∈I et b∈IR.
Elle existe une seule fonction primitive G de f sur I qui vérifie la condition G(a)=b.
1.3.4 Résultat
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une fonction primitive de f.
Elle existe une seule fonction primitive G de f qui s'annule en a et G(x)=F(x)-F(a).
Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)= 4x³ donc une des ses fonction primitive F définie sur IR par F(x)=x4.
Si on pose a=3 alors la fonction primitive G de f qui s'annule en 3 est définie par
(∀x∈IR): G(x)=F(x)-F(3)=x4-81.
1.4 Opérations sur les fonctions primitives
1.4.1 Propriété
Soient f et g deux fonctions qui admettent respectives les fonctions primitives F et G dans un intervalle I et k∈IR.
F+G est une fonction primitive de f+g sur I.
F-G est une fonction primitive de f-g sur I.
kF est une fonction primitive de kf sur I.
En général: la fonction primitive de fxg n'est pas FxG.
Remarque
Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a ; b deux nombres réels de I.
Soit F une fonction primitive de f sur I, la différence F(b)-F(a) ne dépend pas de la fonction primitive choisie.
1.4.2 Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=3x²+2x.
On considère deux fonctions primitives F et G de f sur IR
F(x)= x³+x² et G(x)=x³+x²+7
On pose a=1 et b=5
F(1)-F(5)=2-150 =-148
G(1)-G(5)=9-157 = -148
donc F(1)-F(5)= G(1)-G(5).
2- Primitives des fonctions usuelles
| Fonction f | Primitive F | |
|---|---|---|
| 1 | x+k | |
| a | ax+k | |
| sinx | -cosx + k | |
| cosx | sinx +k | |
| asin(ax+b) | -cosx | |
| u'+v' | u+v+k | |
| 2u'u | u² + k |
avec k∈IR.
| Fonction f | Primitive F | |||
|---|---|---|---|---|
| xn | 1 | xn+1+k | ||
| n+1 | ||||
| 1 | -1 | + k avec x≠0 et k∈IR | ||
| x² | x | |||
| 1+tan²x | 1 | x≠(π/2)+kπ | ||
| cos²x | ||||
| Fonction f | Primitive F | |||
| u' | -1 | + k avec k∈IR | ||
| u² | u | |||
| u'v-uv' | u | +k | ||
| v² | v | |||
| u' | √u + | k | ||
| 2√(u) | ||||
avec k∈IR.