Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Primitives (3)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)= (2x-1)(x²-x+1).
1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer la fonction primitive de f qui s'annule en 1.

Correction

1) f(x)= (2x-1)(x²-x+1)
f est continue sur IR donc elle admet des fonctions primitives sur IR.

On considère la fonction u définie sur IR par
u(x) = x²-x+1.
u est continue et dérivable sur IR
g'(x)=2x-1 et on remarque que f(x)=g'(x)g(x)
ou encore

f(x) = ( 1 (g(x))²)'
2

Ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F définies par

F(x) = 1 (x²-x+1)² + k tel que k∈IR
2

2) Soit G la fonction primitive de f qui s'annule en 1

donc G(x) = 1 (x²-x+1)² + k et G(1)=0
2

On cherche k

G(1) = 0 ⇔ 1 (1²-1+1)² + k = 0
2
k = - 1
2

ainsi

G(x) = 1 (x²-x+1)² - 1
22
Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = x
√(x²+5)

1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer G la fonction primitive de f qui vérifie la condition G(2) = 1.

Correction

1) La fonction x→x²+5 est continue sur IR donc la fonction x→√(x²+5) est continue sur IR et ne s'annule pas et la fonction x→x est continue sur IR
donc f est continue sur IR et donc elle admet des fonctions primitives sur IR.
On considère la fonction u définie sur IR par
u(x) = √(x² + 5). La fonction x→x²+5 est strictement positive et dérivable sur IR.

Donc u est dérivable sur IR. Soit x∈IR

u'(x) = 2x = x
2√(x²+5)2√(x²+5)

On remarque que f(x)=u'(x) ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F définies par
F(x) = √(x²+5) + k tel que k∈IR.

2) Soit G la fonction primitive de f qui vérifie la condition G(2)=1
donc G(x)= √(x²+5) + k et G(2)=1.
On cherche k
G(2) = 1 ⇔ √(2²+5) + k = 0 ⇔ k=- 3
ainsi G(x) = √(x²+5) - 3.