Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Primitives (2)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = x³ - 1
x-1

1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer G la fonction primitive de f qui vérifie la condition

G(3) = - 1
2
Correction

f est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son domaine de définition D
D = {x∈IR / x-1≠0} = IR \ {1} donc elle admet des primitives sur IR \ {1}
On remarque que le polynôme P(x) = x³ - 1 s'annule en 1 donc il est divisible par x-1
De plus P(x) est une identité remarquable
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
Donc ∀x∈D , f(x) = x² + x + 1

Ainsi l'ensemble des fonctions primitive de f est l'ensemble des fonctions F définies par

F(x) = 1x³ + 1x² + x + k, k∈IR
3 2

2) Soit G une fonction primitive de f Donc

G(x) = 1x³ + 1x² + x + k
3 2
et G(3) = - 1
2

On détermine k

G(3) = -1
2
1 3³ + 13² + 3 + k = -1
3 2 2

⇔ k = -17
Ainsi

G(x) = 1x³ + 1x² + x - 17
3 2
Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) = 1
x²-4x+4

1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f
2) Déterminer G la fonction primitive de f qui s'annule en 2

Correction

f est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son domaine de définition D
D = {x∈IR / x²-4x+4≠0}

x² - 4x + 4 = 0 ⇔ x² - 2.2x + 2² = 0
⇔ (x-2)² = 0
⇔ x = 2
D = IR \ {2}
donc f admet des primitives sur IR \ {2}
On remarque

f(x) = 1
(x-2)²

Ou encore

f(x) = - (1)'
x-2

Ainsi l'ensemble des fonctions primitive de f est l'ensemble des fonctions F définies par

F(x) = - 1 + k , k∈IR
x-1

2) Soit G une fonction primitive de f Donc

G(x) = - 1 + k
x-1

Et G(2) = 0

On détermine k

G(2) = 0 ⇔ - 1 + k = 0
2-1

⇔ k = 1
Ainsi

G(x) = - 1 + 1
x-1