Exercice 1 tp

Une urne contient 5 boules bleues une boule rouge et quatre boules vertes, toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard deux boules simultanement
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
1) B: tirer deux boules bleues
2) E: tirer 1 boule bleue et 1 boule verte
3) D: tirer deux boules de couleurs différentes
4) Soit X la variable aleatoire définie par le nombtre de boules bleues tirées
(a) Déterminer les valeurs de X.

(b) Déterminer la loi de probabilité de X
(c) Calculer l'espérnce mathémathique E(X)
(d) Calculer la variance V(X).

Correction

Dans cette experience, il n'y a ni ordre ni répétition il s'agit donc des combinaisons

cardΩ =	C	2 10	=	A	2 10	= 45
				2!

1) B: tirer deux boules bleues

cardB =

C

2 5

= 10

Donc cardB = 10 ainsi

p(B) =	C	2 5	=	10	=	2
	45			45		9

E: tirer 1 boule bleue et 1 boule verte

cardE =

C

1 5

×

C

1 4

= 5.4 = 20

Donc

p(E) =	C	1 5	×	C	1 4	=	20	=	4
	45						45		9

D tirer deux boules de couleurs différntes
signifie (1 boules bleue et 1 boule rouge) ou (1 boule rouge et 1 boule verte) ou (1 boule bleue et 1 boule verte)

Donc D= BR∪RV∪ BV ou ou

BR , RV et BV sont disjoints donc

cardD =	C	1 5	C	1 1
+	C	1 1	C	1 4
+	C	1 5	C	1 4

Ainsi cardD = 5 + 4 + 20 = 29
alors p(D) = p(BR) + p(RV) + p(BV)

p(D) =	29
	45

3) (a) Valeurs de la variable X
Il y a 5 boules bleues dans l'urne et on tire deux boules donc il y a trois possibilités pour les boules bleues dans le tirage
(i) Pas de boules bleues
(ii) Une boule bleue
(iii) Deux boules bleues

Et donc 0 ; 1 et 2 sont les valeurs de X
Ainsi X(Ω) = {0 ; 1 ; 2}
(b) Loi de probabilité de X
On a X(Ω) = {0 ; 1 ; 2}
L'événement (x = 0) signifie que aucune boule bleue ne sera tirée c'est à dire on tire deux boules parmi 1 boule rouge et 4 boules vertes

p(x = 0) =	C	2 1 + 4	=	C	2 5	=	10
	45			45			45

Donc p(x = 0) =	2
	9

L'événement (x = 1) signifie une seule boule bleue est tirée ou p(x = 1) =

C	1 5	C	1 1	+	C	1 5	C	1 4
45

Donc p(x = 1) =	25	=	5
	45		9

L'événement (x = 2) signifie deux boules bleues sont tirées

p(x = 2) =	C	2 5	=	10	=	2
	45			45		9

Ainsi La loi de probabilité de X est définie par le tableau suivant

X = xi		0		1		2		Somme
p(X = xi		2		5		2		1
		9		9		9

(c) Espérence mathémathique
E(x) = 0p(x=0) + 1p(x=1) + 2p(x=2)

E(x) = 1.	5	+ 2.	2
	9		9

Donc

E(x) =	9	= 1
	9

(d) Varience mathémathique
On a V(X) = E(X²) - (E(X))²
Et on a E(X) = 1 donc (E(X))² = 1
Il reste à calculer E(X²)
E(X²) = 0²p(x=0) + 1²p(x=1) + 2²p(x=2)

E(X²) = 1².	5	+ 2².	2	=	13
	9		9		9

donc

V(X) =	13	- 1 =	4
	9		9