Mathématiques du secondaire qualifiant

الجداء السلمي في الفضاء (1)

1- الجداء السلمي في الفضاء

1.1 تعريف وخاصيات

1.1.1 انشطة

ABCDEFGH مكعب طول ضلعه 1
1. نتموضع في المستوى ABC
احسب AB.AC و AB.AD
2. المستوى ABE احسب AB.AF

1.1.2 تعريف

الجداء السلمي لمتجهتين u و v ونكتب u.v يساوي الجذاء السلمي للمتجهتين AB و AC في المستوى P=ABC حيث u=AB و v=AC
u.v = AB.AC = AB.AH حيث H المسقط العمودي للنقطة C على (AB).

1.1.3 منظم متجهة
تعريف 1

u متجهة من V3
u.u يسمى المربع السلمي للمتجهة u ونرمز له ب
العدد الحقيقي الموجب √u² المعين ل ||u|| هو منظم المتجهة u
اذا كانت u=AB فان ||u||=AB

تعريف 2

u.v=||u|||v||cos(u;v)

1.2 خاصيات التماثلية وثنائية الخطية

1.2.1تعريف وخاصية

u و v و w متجهات من V3 و t عددحقيقي غير منعدم
التماثلية او التبادلية u.v = v.u/
ثنائية الخطية :
u.(v+w) = u.v + u.w
u.(tv) = t(u.v)
و

1.2.2 نتائج

(u+v)²=u²+v²+2u.v
(u-v)²=u²+v²-2u.v
(u-v).(u+v)=u²-v²

4u.v= (||u+v||²+||u-v||²)

تمرين

u و v متجهتان من V3 حيث ||u||=2 و ||v||=4 و u.v=-0,5
1. احسب u.(3u-v)
2. احسب ||u+v||

1.2.3 تعامد متجهتين
تعريف

نقول ان متجهتين متعامدتان اذا كان اتجاهما يحدد زاوية قائمة

خاصية

لتكن u و v متجهتين من V3.
u⊥v ⇔ u.v=0
u → ↑v

برهان :

لدينا :
u.v =||u||×||v||cos(u;v)
u.v=0
⇔ ||u||×||v||cos(u;v)=0
⇔ cos(u;v)=0 او ||u||=0 او ||v||=0

(u;v)≡π/2[π]
او u=0 او v=0
⇔ u⊥v

للتذكير 0 متعامد مع كل متجهة.

1.3 اساس ممنظم في الفضاء

1.3.1 تعريف 1:

ثلاث متجهات غير مستوائية تحدد اساسا في V3

1.3.2 تعريف 2 :

(i;j;k) اساس في V3
(i;j;k) اساس متعامد ممنظم يعني i⊥j و i⊥k و j⊥k و ||i||=||j||=||k||=1

1.3.3 خاصية:

(i;j;k) اساس في V3

(∀u∈V3)(∃a;b;c∈IR): u= ai+bj+ck

1.4 الصيغة التحليلية في V3

1.4.1 المعلم المتعامد الممنظم

(i;j;k) اساس متعامد ممنظم في V3 و O نقطة من الفضاء E3 المربوع (O;i;j;k) هو معلم متعامد ممنظم.

خاصية

(∀M∈E)(∃(x;y;z)∈IR³):
OM=xi+yj+zk

في هذا الدرس الفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i;j;k)

repère
1.4.2 خاصية

u(x:y:z) و v(x';y';z') متجهتان من الفضاء
u.v= xx + yy +zz
تبيان : يكفي تطبيق التماثلية وثنائية الخطية للجداء السلمي

1.4.3 امثلة

u(1;2;3) ; v(-2;3-;-1)
u.v = 1.(-2)+2.3+3.(-1)=1
u(-2;8;2) ; v(-1;-2;7)
u.v=(-2).(-1)+8.(-2)+2.7 = 0
اذن u و v متعامدتان

1.4.4 منظم متجهة

u متجهة من V3, ||u||=√u² اذن
||u||=√(x²+y²+z²)

امثلة :

u(2;0;3), ||u||=√(4+0+9)=√13

1.4.5 المسافة AB

AB=||AB|| اذن
AB = √((x-x)²+(y-y)²+(z-z)²)

مثال:

A(1;-1;2) ; B(5;2;2)
AB=√((5-1)²+(2-(-1))²+(2-2))
=√25=5

تمرين

(ABC) مثلث حيث AB=2 و AC=4 و AB.AC=-2
1) بين ان BC²=AB²+AC²-2AB.AC
2) استنتج المسافة BC
3) احسب BA.BC
4) استنتج قياسا بالتقريب للزاوية (BA;BC) .