2- المجموعة:
{M(x;y)/ u^→.AM^→=k}

لتكن u^→(a;b;c) متجهة من V3 و A(x_A;y_A;z_A) نقطة من الفضاء و k عدد حقيقي
M(x;y;z)∈P ⇔u^→.AM^→ = k
⇔ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=k
⇔ ax+by+cz+(-ax_A-by_A-cz_A-k)=0

2.1 خاصية

مجموعة النقط M من الفضاء بحيث u^→.AM^→=k هي مستوى معادلته الديكارتية ax+by+cz+d=0
حيث d=-ax_A-by_A-cz_A-k

مثال

لتكن A(1;2;3) نقطة و u^→(-2;3;4) متجهة من V3 نأخذ k=5
حدد المجموعة:
(P)={M(x;y)/ u^→.AM^→=5}

تصحيح

(P) مستوى معادلته
-2x+3y+4z+(2-6-12-5)= 0
اذن (P): 2x-3y-4z+21=0

2.2 مستوى محدد بمتجهته المنظمية

2.2.1 تعريف

نقول ان n^→ متجهة منظمية على المستوى (P) اذا كانت n^→ متجهة موجهة لمستقيم عمودي على (P)

2.2.2 معادلته ديكارتية لمستوى

مبرهنة

P مستوى متجهته المنظمية عليه هي n^→(a;b;c) ويمر من النقطة A(x_A;y_A;z_A)
M(x;y;z) ∈P ⇔ u^→.AM^→=0
اي
M(x;y;z)∈P⇔ax+by+cz+d=0
حيث d=-(ax_A+by_A+cz_A)

نتيجة

كل معادلة على الشكل ax+by+cz+d=0 حيث a و b و c ليست كلها منعدمة , تحدد مستوى متجهته المنظمية n^→(a;b;c)

مثال

المعادلة: 2x+3y+7z+10 = 0 تحدد المستوى P متجهته المنظمية n^→(2;3;7)

2.2.3 مسافة نقطة عن مستوى

لتكن B(x;y;z) نقطة من المستوى P الذي معادلته ax+by+cz+d=0
لدينا d(B;P)=BH حيث H المسقط العمودي للنقطة B على المستوى P
و n^→ متجهة منظمية على P
اذن n^→ و BH^→ مستقيميتين اذن |BH^→.n^→|=BH||n^→||
اي :

BH =	|BH→.n→|
	||n→||

خاصية

مسافة نقطة B(x_B;y_B;z_B) عن مستوى P: ax+by+cz+d=0 معرفة كما يلي

d(B ; P) =	| axB+byB+czB+d |
	√(a²+b²+c²)

مثال

لتكن B(1;2;3) نقطة من الفضاء و P: 2x+5y+z+1=0 مستوى.
احسب d(B;P)

تصحيح

d(B;P)=	|2.1+5.2+1.3+1|
	√(4+25+1)
=	8√30
	15

3- دراسة تحليلية لفلكة

3.1 تعريف

لتكن A نقطة من الفضاء
فلكة مركزها A هي مجموعة نقط الفضاء التي تبعد بنفس المسافة عن النقطة A
بتعبير آخر, الفلكة التي مركزها A وشعاعها R هي مجموعة نقط الفضاء M بحيث AM = R

3.2 معادلة فلكة (S) مركزها I(a;b;c) وشعاعها R

M(x;y;z)∈(S) ⇔IM=R
⇔√[(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²]=R
⇔ (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² ; (R≥0)

3.2.1 خاصية

مجموعة نقط الفضاء M(x;y;z) حيث :
(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² هي فلكة مركزها I(a;b;c) وشعاعها R>0 , لاحظ ان R²≥0

و (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² تسمى معادلة ديكارتية للفلكة (S)

3.2.2 ملاحظة

المعادلة (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² يمكن ان تكتب على الشكل
x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+a²+b²+c²-R²=0

تمرين 1

حدد المجموعة (S) التي معادلتها :
(x-1)²+(y-2)²+(z+7)²=5 مع تحديد عناصرها المميزة أي تحديد مركزها وشعاعها .

تصحيح

معادلة (S) هي معادلة ديكارتية لفلكة اذن (S) فلكة مركزها I(1;2;-7) وشعاعها R=√5.

تمرين 2

حدد المجموعة (S) التي معادلتها :
(x+2)²+y²+(z-1)²=9 مع تحديد عناصرها المميزة أي تحديد مركزها وشعاعها .

تصحيح

معادلة (S) هي معادلة ديكارتية لفلكة اذن (S) فلكة مركزها I(-2;0;1) وشعاعها R=3. يمكن كتابة معادلة الفلكة على الشكل :
x²+y²+z²+4x-2z-4=0

تمرين 3

لتكن (S) مجموعة معرفة بما يلي x²+y²+z²-4x-2y+2z-10=0 بين ان S فلكة مع تحديد عناصرها المميزة.

تصحيح

لدينا x²-4x=(x-2)²-4.
y²-2y=(y-1)²-1.
z²+2z=(z+1)²-1 اذن
x²+y²+z²-4x-2y+2z-10=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²-4-1-1-10=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²=16=4²
ومنه فان (S) فلكة مركزها I(2;1;-1) وشعاعها R=4.

تمرين 4

بين ان مجموعة النقط M(x;y;z) حيت (S): x²+y²+z²-4x-2y+2z+1=0 ليست فلكة.

تصحيح

نواصل بنفس طريقة التمرين السابق
x²+y²+z²-4x-2y+2z+1=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²-4-1-1+1=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²=-5
وهذه معادلة مستحيلة ومنه فان (S)=∅ اي ليست فلكة.