Mathématiques du secondaire qualifiant

الجداء السلمي في الفضاء (2)

2- المجموعة:
{M(x;y)/ u.AM=k}

لتكن u(a;b;c) متجهة من V3 و A(xA;yA;zA) نقطة من الفضاء و k عدد حقيقي
M(x;y;z)∈P ⇔u.AM = k
⇔ a(x-xA)+b(y-yA)+c(z-zA)=k
⇔ ax+by+cz+(-axA-byA-czA-k)=0

2.1 خاصية

مجموعة النقط M من الفضاء بحيث u.AM=k هي مستوى معادلته الديكارتية ax+by+cz+d=0
حيث d=-axA-byA-czA-k

مثال

لتكن A(1;2;3) نقطة و u(-2;3;4) متجهة من V3 نأخذ k=5
حدد المجموعة:
(P)={M(x;y)/ u.AM=5}

تصحيح

(P) مستوى معادلته
-2x+3y+4z+(2-6-12-5)= 0
اذن (P): 2x-3y-4z+21=0

2.2 مستوى محدد بمتجهته المنظمية

2.2.1 تعريف

نقول ان n متجهة منظمية على المستوى (P) اذا كانت n متجهة موجهة لمستقيم عمودي على (P)

2.2.2 معادلته ديكارتية لمستوى
مبرهنة

P مستوى متجهته المنظمية عليه هي n(a;b;c) ويمر من النقطة A(xA;yA;zA)
M(x;y;z) ∈P ⇔ u.AM=0
اي
M(x;y;z)∈P⇔ax+by+cz+d=0
حيث d=-(axA+byA+czA)

نتيجة

كل معادلة على الشكل ax+by+cz+d=0 حيث a و b و c ليست كلها منعدمة , تحدد مستوى متجهته المنظمية n(a;b;c)

مثال

المعادلة: 2x+3y+7z+10 = 0 تحدد المستوى P متجهته المنظمية n(2;3;7)

2.2.3 مسافة نقطة عن مستوى

لتكن B(x;y;z) نقطة من المستوى P الذي معادلته ax+by+cz+d=0
لدينا d(B;P)=BH حيث H المسقط العمودي للنقطة B على المستوى P
و n متجهة منظمية على P
اذن n و BH مستقيميتين اذن |BH.n|=BH||n||
اي :
BH = |BH.n|
||n||

خاصية

مسافة نقطة B(xB;yB;zB) عن مستوى P: ax+by+cz+d=0 معرفة كما يلي
d(B ; P) = | axB+byB+czB+d |
√(a²+b²+c²)

مثال

لتكن B(1;2;3) نقطة من الفضاء و P: 2x+5y+z+1=0 مستوى.
احسب d(B;P)

تصحيح

d(B;P)= |2.1+5.2+1.3+1|
√(4+25+1)
= 8√30
15

3- دراسة تحليلية لفلكة

3.1 تعريف

لتكن A نقطة من الفضاء
فلكة مركزها A هي مجموعة نقط الفضاء التي تبعد بنفس المسافة عن النقطة A
بتعبير آخر, الفلكة التي مركزها A وشعاعها R هي مجموعة نقط الفضاء M بحيث AM = R

3.2 معادلة فلكة (S) مركزها I(a;b;c) وشعاعها R

M(x;y;z)∈(S) ⇔IM=R
⇔√[(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²]=R
⇔ (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² ; (R≥0)

3.2.1 خاصية

مجموعة نقط الفضاء M(x;y;z) حيث :
(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² هي فلكة مركزها I(a;b;c) وشعاعها R>0 , لاحظ ان R²≥0

و (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² تسمى معادلة ديكارتية للفلكة (S)

3.2.2 ملاحظة

المعادلة (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² يمكن ان تكتب على الشكل
x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+a²+b²+c²-R²=0

تمرين 1

حدد المجموعة (S) التي معادلتها :
(x-1)²+(y-2)²+(z+7)²=5 مع تحديد عناصرها المميزة أي تحديد مركزها وشعاعها .

تصحيح

معادلة (S) هي معادلة ديكارتية لفلكة اذن (S) فلكة مركزها I(1;2;-7) وشعاعها R=√5.

تمرين 2

حدد المجموعة (S) التي معادلتها :
(x+2)²+y²+(z-1)²=9 مع تحديد عناصرها المميزة أي تحديد مركزها وشعاعها .

تصحيح

معادلة (S) هي معادلة ديكارتية لفلكة اذن (S) فلكة مركزها I(-2;0;1) وشعاعها R=3. يمكن كتابة معادلة الفلكة على الشكل :
x²+y²+z²+4x-2z-4=0

تمرين 3

لتكن (S) مجموعة معرفة بما يلي x²+y²+z²-4x-2y+2z-10=0 بين ان S فلكة مع تحديد عناصرها المميزة.

تصحيح

لدينا x²-4x=(x-2)²-4.
y²-2y=(y-1)²-1.
z²+2z=(z+1)²-1 اذن
x²+y²+z²-4x-2y+2z-10=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²-4-1-1-10=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²=16=4²

ومنه فان (S) فلكة مركزها I(2;1;-1) وشعاعها R=4.

تمرين 4

بين ان مجموعة النقط M(x;y;z) حيت (S): x²+y²+z²-4x-2y+2z+1=0 ليست فلكة.

تصحيح

نواصل بنفس طريقة التمرين السابق
x²+y²+z²-4x-2y+2z+1=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²-4-1-1+1=0
⇔(x-2)²+(y-1)²+(z+1)²=-5

وهذه معادلة مستحيلة ومنه فان (S)=∅ اي ليست فلكة.