Produit scalaire (1)
1- Produit scalaire dans l'espace
1.1 Définition et propriétés
1.1.1 Activité
Soit ABCDEFGH un cube d'arret 1.
1) On se place dans le plan ABC
Calculer AB→.AC→ et AB→.AD→.
2) On se place dans le plan ABE
Calculer AB→.AF→.
![](../img/cube1.png)
1.1.2 Définition
Soient u→ et v→ deux vecteurs dans l'espace tels que u→=AB→ et v→=AC→.
Le produit scalaire de u→ et v→ est égal au produit scalaire des vecteurs AB→ et AC→ calculé dans le plan P=ABC et est noté u→.v→.
u→.v→=AB→.AC→=AB→.AH→ tel que H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
1.1.3 Norme d'un vecteur
Définition
Soit u→ un vecteur.
Le nombre réel u→.u→ est appelé
le carré scalaire du vecteur u→ et est noté u²→.
Le réel positif √u²→ est la norme du vecteur u→ et est noté ||u→||.
Si u→=AB→ alors ||u→||=AB.
Propriété
Soient u→ et v→ deux vecteurs.
u→.v→=||u→||×||v→||×cos(u→;v→).
1.2 Symétrie et bilinéarité
1.2.1 Propriété et définition
Soient u→ ; v→ et w→ trois vecteurs dans V3 et t un nombre réel non nul.
1) Symétrie ou commutativité
u→.v→ = v→.u→.
2) Bilinéarité
u→.(v→+w→) = u→.v→ + u→.w→.
Et u→.(tv→) = t(u→.v→).
Résultats
(u→+v→)²=u²→+v²→+2u→.v→.
(u→-v→)²=u²→+v²→-2u→.v→.
(u→-v→).(u→+v→)=u²→-v²→.
4u→.v→= (||u→+v→||²+||u→-v→||²).
Exercice 1 tp
Soient u→ et v→ deux vecteurs dans V3
tels que
||u→||=2, ||v→||=4
et u→.v→ = -0,5.
1) Calculer u→.(3u→-v→).
2) Calculer ||u→+v→||.
1.2.2 Orthogonalité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs sont orthogonaux si leurs directions
forment un angle droit.
Propriété
Soient u→ et v→) deux vecteurs dans V3.
u→⊥v→ ⇔ u→.v→=0.
u → ↑v
Démonstration on a
u→.v→=||u→||×||v→||cos(u→;v→).
u→.v→=0 ⇔ ||u→||×||v→||cos(u→;v→)=0
⇔ cos(u→;v→)=0 ou ||u→||=0 ou ||v→||=0
⇔ (u→;v→)≡ | π | [π] |
2 |
ou u→=0→ ou v→=0→
⇔ u→⊥v→
Notons que le vecteur 0→ est orthogonal à tout vecteur.