2- L'ensemble P={M(x;y;z)/u^→.AM^→=k}

2.1 Propriétés

2.1.1 Introduction

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Soient u^→(a;b;c)∈V₃ et A(x_A;y_A;z_A)∈E₃. On considère l'ensemble P ={M(x;y;z)∈E₃/u^→.AM^→=k tel que k∈IR} M(x;y;z)∈P ⇔ a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=k
⇔ ax+by+cz+(-ax_A-by_A-cz_A-k)=0.

On pose d=-ax_A-by_A-cz_A-k.
M(x;y;z)∈P ⇔ ax+by+cz+d=0.

2.1.2 Propriétés

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
1) Soient A∈E₃ et u^→(a;b;c)∈V₃.
L'ensemble des points M de l'espace E₃ tels que u^→.AM^→=k et k∈IR est un plan.
2) Tout plan admet une équation cartésienne sous la forme ax+by+cz+d=0 tels que a;b et c sont des nombres réels non tous nuls.

Exemple
Soient A(1;2;3) un point dans E₃ et u^→(5;-1;4) un vecteur dans V₃. Déterminer l'ensemble
ℙ={M(x;y)/ u^→.AM^→=5}.

Correction
5x-y+4z+d=0 est une équation du plan ℙ.
A∈ℙ donc le triplet (1;2;3) vérifie l'équation du plan
5-2+12+d=0 ou encore d=-15
ainsi ℙ: 5x-y+4z-15=0.

2.2 Plan défini par son vecteur normal

2.2.1 Définition

On dit qu'un vecteur n^→ est normal au plan ℙ si n^→ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à ℙ.

2.2.2 Equation cartésienne d’un plan

Théorème
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). Soit ℙ un plan de vecteur normal n^→(a;b;c) et passe par un point A(x_A;y_A;z_A).
M(x;y;z) ∈ ℙ ⇔ u^→.AM^→=0
⇔ ax+by+cz+d=0 tel que d=-(ax_A+by_A+cz_A).

Résultat
Toute équation de la forme ax+by+cz+d=0 définit un plan de vecteur normal n^→(a;b;c) tels que a;b et c non tous nul.

Exemple
L'équation 2 x+3 y+7z+10 = 0 définit un plan ℙ de vecteur normal n^→(2;3;7).

2.2.3 Distance d’un point à un plan

Soient B(x;y;z) un point et ℙ un plan d'équation ax+by+cz+d=0. On a d(B;ℙ)=BH tel que H est le projeté orthogolal de B sur le plan ℙ et n^→ est un vecteur normal à P.

Donc n^→ et BH^→ sont colinéaires
et donc |BH^→.n^→|=BH||n^→||.

Propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). La distance d'un point B(x_B;y_B;z_B) à un plan ℙ: ax+by+cz+d=0 est définie comme suit

Exemple
Soient B(1;2;3) un piont dans l'espace E₃ et ℙ: 2x+5y+z+1=0 un plan.
Calculer d(B;ℙ).

Correction