Mathématiques du secondaire qualifiant

Produit scalaire (11)

Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k).
On considère dans 𝔼 deux plans (P) et (Q).
(P): 4x+4y+4z+8=0.
(Q): x+y+z+14=0.
1) Vérifier que A(3;0;-5)∈ (P).
2) (a) Montrer que (P) et (Q) sont strictement parallèles.
(b) Calculer d(A;(Q)) la distance de A au plan Q.

3) Soit (S) une sphère telle que (P) et (Q) lui soient tangents et A∈(S).
Déterminer le rayon R de la sphère (S).
4) Déterminer B, le point de contact du plan (Q) et de la sphère (S).
5) (a) Déterminer le centre Ω de la sphère (S).
(b) Déduire une équation cartésienne de la sphère (S).

Correction

1) On vérifie que A(3;0;-5)∈(P)
(P): 4x+4y+4z+8=0
4.3+4.0+4.(-5)+8=12+0-20+8=0
donc A∈(P).

2) (a) n(4;4;4) est un vecteur normal à (P)
et m(1;1;1) est un vecteur normal à (Q)
de plus n=4m et cele signifie que n et m sont colinéaires
donc (P) et (Q) sont parallèles.

On A∈(P)
on vérifie si A(3;0;-5)∈(Q) ?
(Q): x+y+z+14=0
3+0-5+14=12≠0 donc A∉(Q) ainsi (P)≠(Q)
d'où (P) et (Q) sont strictement parallèles.

(b) d(A ; (Q)) = | 3+0-5+14|
√(1²+1²+1²)
= |12|
√(3)
= 12√(3)
3

donc d(A;(Q))=4√(3).

3) Les deux plans (P) et (Q) sont strictement parallèles et tangents à la sphères (S)
cela signifie que la sphère (S) est entre les deux plans.
On a (P) est tangent à la sphère (S) en A
donc le rayon R de la sphère (S) est la moitié de la distance de A à (Q)
ainsi R=2√3.

4) Point de contact du plan (Q) et la sphère (S).
On désigne par (D) à la droite (AB).
(D)⊥(P) donc n(4;4;4) est un vecteur directeur de la droite (D)
d'où (D) est définie par la représentation paramétrique suivante

{ x=3+4t (t∈IR)
y=4t
z=-5+4t

Pour déterminer B, il suffit de résoudre le système suivant

{ x+y+z+14=0 (t∈IR)
x=3+4t
y=4t
z=-5+4t

On remplace les valeurs de x; y et z en fonction de t dans l'équation du plan (P).
(3+4t)+(4t)+(-5+4t)+14=0
⇔ 12t+12=0
donc t=-1.

Et puis on substitue la valeur de t dans la représentation paramétrique de la droite (D)

{ x=3-4 = -1
y=-4
z=-5-4=-9

donc B(-1 ; -4 ; -9).

5) (a) le segment [AB] est un diamètre de la sphère et donc Ω est le milieu du segment [AB].

Ω( 3+(-1) ; 0+(-4) ; -5+(-9) )
2 2 2

ainsi Ω(1 ; -2 ; -7).
(b) (S) est une sphère de centre Ω et de rayon R=2√(3)
donc M(x;y;z)∈(S) ⇔ ΩM=2√(3)
⇔(ΩM)²=(2√(3))²
⇔ (x-1)²+(y+2)²+(z+7)²=12
d'où x²+y²+z²-2x+4y+14z+42=0 est une équation cartésienne de la sphère (S).