Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux points A(-1;2;1) et B(1;4;3).
Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S) tel que [AB] est l'un de ses diamétres.

Exercice 2 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
Déterminer parmi les ensembles des points M(x;y;z) ci-dessous qui définissent une sphère.
1) x²+y²+z²-2x+2y+z+3=0.
2) x²+y²+z²-4x+2y+z+2=0.
3) 2x²+2y²+2z²-4x+8z-4=0.
4) x²+y²+z²=3.
5) x²+y²+z²=2(x+y+z)+1.

Exercice 3 tp

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
Déterminer parmi les ensembles des points M(x;y;z) ci-dessous qui définissent une sphère.
1) x²+y²+z²-2y+z-5=0.
2) x²+y²+z²+2x-2y+2z+2=0.
3) x²+y²+z²+2x-2y+2=0.

Exercice 4 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 un plan (P) d'équation
2x-y-2z-10=0.
1) Déterminer le rayon de la sphère (S) de centre W(1;2;1) de sorte que le plan P lui soit tangente.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par W et orthogonale au plan P.

3) Déduire les coordonnées du point de la tangente (P) à (S).

Correction

Soit R le rayon de la sphère (S).
P est tangente à (S) ⇔ d(W;P)=R.
2x-y-2z-10=0 est l'équation cartésienne du plan P donc n^→(2;-1;-2) est un vecteur normal à P.

d(W;P) =	|2.1-2-2.1-10|
	√(2²+(-1)²+(-2)²)
=	|-12|
	√(9)

Donc d(W;P)=4 ainsi 4 est le rayon de la sphère (S).
(D)⊥P ⇔ n^→(2;-1;-2) est un vecteur directeur de la droite (D)
donc une représentation paramétrique de la droite (D) est le système suivant

{	x=1+2t	t∈IR
	y=2-t
	z=1-2t

3) Pour déterminer les coordonnées du point de la tangente P à (S) il suffit de résoudre le système suivant

{	2x-y-2z-10=0	t∈IR
	x=1+2t
	y=2-t
	z=1-2t

2(1+2t)-(2-t)-2(1-2t)-10=0
signifie 4t+t+4t+2-2-2-10=0
signifie 9t-12=0 signifie 3t=4
donc t=4÷3 et en remplaçant la valeur de t dans la représentation paramétrique de la droite (D) on obtient

(D)∩P = {B(	11	;	2	;	-5	)}
	3		3		3

ainsi le plan P est tangente à la sphère (S) au point B.