Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 une sphère (S) de centre A(2;1;4) et de rayon 3.
Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S).

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 deux points A(1;0;3) et B(1;4;5).
Déterminer une équation cartésienne de la sphère dont l'un de ses diamètres est [AB].

Exercice 3

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 un ensemble (L) des points M(x;y;z) tel que
x²+y²+z²-4x+4z-1=0
et une droite D(A;u^→) tels que A(-1;0;-5) et u^→(2;-2;1).
1) Montrer que (L) est une sphère dont il faut déterminer le centre et le rayon.

2) Montrer que la droite (D) est tangente à la sphère (L).

Correction

Rappel

x²+ax = (x+	a	)² -	a²
	2		4
x²-ax = (x-	a	)² -	a²
	2		4

1) x²+y²+z²-4x+4z-1=0
⇔ x²-4x+y²+z²+4z-1=0.

x²-4x=(x-2)²-4 et z²+4x=(x+2)²-4
donc x²+y²+z²-4x+4z-1=0
⇔ (x-2)²+y²+(z+2)²=9
et cela signifie que L est une sphère de centre Ω(2;0;-2) et de rayon R=3
2) La droite (D) est définie par la représentation paramétrique suivante

{	x=-1+2t	(t∈IR)
	y=-2t
	z=-5+t

Pour montrer que la droite (D) est tangente à la sphère (L), il suffit de résoudre le système

{	x²+y²+z²-4x+4z-1=0	(t∈IR)
	x=-1+2t
	y=-2t
	z=-5+t

(-1+2t)²+(-2t)²+(-5+t)²-4(-1+2t)+4(-5+t)-1=0
⇔ 4t²+4t²+t²-4t-10t-8t+4t+1+25+4-20-1=0
⇔ 9t²-18t+9=0
⇔ t²-2t+1=0
⇔(t-1)²=0
⇔ t-1=0
⇔ t=1.

En remplaçant la valeur de t dans la représentation paramétrique de la droite (D)
on obtient x=1 ; y=-2 et z=-4 et cela signifie que la droite (D) coupe la sphère en un seul point B(1;-2;-4)
ainsi (D) est tangente à la sphère (L) au point B.