Exercice 1 tp

Soit (u_n)_n∈IN une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n+1 et u₀=3.
On considère la suite (v_n) définie par
v_n=u_n+1.
1) Calculer v₀.
2) Montrer (v_n) est une suite géométrique.
3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déduire u_n en fonction de n.

5) Calculer

lim +∞

(un)

Correction

1) On a v_n=u_n+1
donc v₀=u₀+1=3+1=4.
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique
pour cela on calcule v_n+1
on a v_n=u_n+1.

Donc v_n+1=u_n+1+1
ou encore v_n+1=(2u_n+1)+1
=2(u_n+1).
Puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n
et cela signifie que (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et v₀=4.
3) On détermine v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n=v₀qⁿ ainsi v_n=4x2ⁿ.

4) Puisque v_n=u_n+1 alors u_n=v_n-1
ainsi u_n=4x2ⁿ -1.
5) On a 2>1 donc

lim +∞

2n = +∞

⇒

lim +∞

4.2n - 1 = +∞

ainsi

lim +∞

(un)

= +∞

Exercice 2 tp

Soit (u_n)n≥1 une suite numérique définie par
u_n+1=-3u_n+4 et u₁=3.
On considère la suite (v_n) définie par
v_n=u_n-1.
1) Calculer v₁.
2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique.
3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déterminer u_n en fonction de n.
5) La suite (u_n) admet elle une limite ?

Correction

1) On a v_n=u_n-1 donc v₁=u₁-1=3-1=2.
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique. On détermine v_n+1.
v_n+1=u_n+1-1
=(-3u_n+4)-1 = -3u_n+3
=-3(u_n-1) =-3v_n
donc v_n+1=-3v_n
ainsi (v_n)n≥1 est une suite géométrique de raison -3.

3) On calcule v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique alors v_n=v₁q^n-1
ou encore v_n=2x(-3)^n-1

donc vn =	- 2	x(-3)n
	3

4) Puisque v_n=u_n-1 alors u_n=v_n+1

Ainsi

un =	- 2	x(-3)n + 1
	3

5) On a -3<-1 donc ((-3)ⁿ) n'admet pas de limite et également

- 2	x(-3)n + 1
3

n'admet pas de limite
ainsi la suite (u_n) n'a pas de limite.