Suites numériques (14)
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite définie par
| un+1 = | 4un - 2 | et u0 = | 5 |
| un + 1 | 4 |
1) Montrer par récurrence que
(∀∈IN): 1<un<2.
2) Montrer que la suite (un) est croissante
et déduire qu'elle est convergente.
3) Soit (vn) une suite définie par
| vn = | un - 1 |
| un - 2 |
(a) Calculer v0.
(b) Montrer que (vn) est une suite géométrique.
4) Ecrire vn et un en fonction de n.
5) Calculer
lim +∞ |
(un) |
Correction
1) On désigne par P(n) la propriété
(∀∈IN): 1<un<2.
(a) Pour n=0 la propriété P(n) est vraie car
| 1 < | 5 | < 2 |
| 4 |
⇔ 1<u0<2.
(b) On suppose que P(n) est vraie et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
On montre d'abord 1<un+1.
| un+1 - 1 = | 4un - 2 | - 1 |
| un + 1 |
| = | 4un - 2 - un - 1 | = | 3(un - 1) |
| un + 1 | un + 1 |
en utilisant la supposition 1<un
on déduit que 3(un-1)>0
et on a de plus un+1>0
donc un+1-1>0
et donc (∀n∈IN): un>1.
Il reste à montrer que un+1<2.
| un+1 - 2 = | 4un - 2 | - 2 |
| un + 1 |
| = | 4un - 2 - 2un - 2 | = | 2(un - 2) |
| un + 1 | un + 1 |
en utilisant la supposition un<2
on déduit que 2(un - 2)<0
et on a de plus un + 1>0 donc un+1 - 2<0
et donc (∀n∈IN): un<2
ainsi (∀n∈IN): 1<un<2.
2) Monotonie de la suite (un). Soit n∈IN
| un+1 - un = | 4un - 2 | - un |
| un + 1 |
| = | 4un - 2 - un² - un | = | -(un² - 3un + 2) |
| un + 1 | un + 1 |
on pose X = un on obtient donc le trinôme
X²-3X+2
Δ=b²-4ac = 9-8=1>0.
| ou | X | = | -b - √(Δ) | = | 3-1 | = 1 |
| 2a | 2 | |||||
| X | = | -b + √(Δ) | = | 3+1 | = 2 | |
| 2a | 2 |
donc X²-3X+2 = (X-1)(X-2) .
| un+1 - un = | -(un - 1)(un - 2) |
| un + 1 |
On a (∀n∈IN): 1<un<2
Donc un - 1>0 et un-2<0
et donc -(un - 1)(un - 2)>0
et de plus un + 1>0
alors
(∀n∈IN): un+1 - un>0
et cela signife que la suite (un) est strictement croissante.
(b) Puisque la suite (un) est croissante et majorée alors elle est convergente.
3) (a) On Calcule v0
| v0 = | u0 - 1 | = | 5 - 4 |
| u0 - 2 | 5 - 8 |
| Donc v0 = | - 1 |
| 3 |
(b) Montrons que (vn) est une suite géométrique.
| vn+1 = | un+1 - 1 |
| un+1 - 2 | |
| = | 4un -2 - un - 1 |
| 4un - 2 - 2un -2 | |
| = | 3(un - 1) |
| 2(un - 2) |
| = | 3 | x | un - 1 |
| 2 | un -2 | ||
| vn+1 = | 3 | x | vn |
| 2 |
ainsi (vn) est une suite géométrique.
| de raison | 3 |
| 2 |
4) (vn) est une suite géométrique
| donc vn = ( | 3 | )nv0 |
| 2 |
ainsi
| vn = - | 1 | ( | 3 | )n |
| 3 | 2 |
| un ≠ 2 donc vn = | un - 1 |
| un - 2 |
⇔ vn(un - 2) = un - 1
⇔ un (vn - 1) = 2vn - 1
| ⇔ un = | 2vn - 1 |
| vn - 1 | |
| ⇔ un = | 2(vn - 1) + 1 |
| vn - 1 |
| ⇔ un = 2 + | 1 |
| vn - 1 | |
| ⇔ un = 2 - | 3 |
| (3/2)n - 1 |
5) Limite de la suite (un)
| 3 | > 1 | ⇒ | lim +∞ |
( | 3 | )n = +∞ |
| 2 | 2 |
| ⇒ | lim +∞ |
3 | = 0 |
| (3/2)n - 1 |
ainsi
lim +∞ |
(un) = 2 |