Mathématiques du secondaire qualifiant

نهاية المتتاليات (1)

1- تذكير

1.1 المتتالية العددية

1.1.2 تعريف متتالية

I هي مجموعة من عناصر المجموعة IN التي اكبر او تساوي عدد طبيعي p
المتتالية العددية هي دالة عددية او تطبيق معرف على I, ونرمز لها ب (un)n≥p او (un)n∈I ...

1.1.3 المتتالية الحسابية

I⊂IN و (un)n∈I
متتالية عددية
نقول ان هذه المتتالية هي متتالية حسابية اذا كانت تكتب على الشكل
un+1=un+r, n∈I
العدد r يسمى اساسا لها.

خاصية 1

لتكن (un) متتالية حسابية حدها الاول u0 واساسها r
الحد العام للمتتالية (un) معرف كما يلي un=u0+nr.

ملاحظة

لتكن (un)n≥p متتالية حسابية اساسها r,
un = up+(n-p)r.

خاصية 2

(un)n≥p متتالية حسابية
و S= up+up+1+..+un
n-p+1 عدد الحدود
لدينا اذن

S=n-p+1(up+un)
2
1.1.4 المتتالية الهندسية

(un)n∈I متتالية هندسية اساسها q اذا كانت تكتب على الشكل un+1=qun, n∈I وحدها الاول عددا حقيقيا a

خاصية 1

(un)n≥p متتالية حسابية اساسها q لدينا un=upqn-p.

خاصية 2

(un)n≥p متتالية هندسية اساسها q≠1 و
S= up+up+1+ .. +un

هو عدد الحدود n-p+1 حيثS=up1-qn-p+1
1-q

1.2 المتتالية المحدودة

1.2.1 المتتالية المكبورة

نقول ان المتتالية (un)n≥p مكبورة بالعدد الحقيقي M اذا كان ∀n≥p: un≤M.

1.2.2 المتتالية المصغورة

نقول ان المتتالية (un)n≥p مصغورة بالعدد الحقيقي m, اذا كان ∀n≥p: un≥m

1.2.3 تعريف

نقول ان متتالية محدودة اذا كانت مصغورة او مكبورة.

1.3 رتابة متتالية

متتالية عدددية (un)n≥p
تزايدية (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 ≥un
تزايدية قطعا (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 > un
تناقصية (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 ≤un
تناقصية قطعا (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 < un
تابتة (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 = un

2- نهاية منتهية لمتتالية

2.1 انشطة

2.1.1 مثال 1

C0 =(ABCD) مربع مساحته s0=1
C1 مربع مساحته s1 ورؤوسه هي , منتصفات اضلاع المثلث C0 ...
Cn مربع مساحته sn ورؤوسه هي , منتصفات اضلاع المثلث Cn-1

المربع C0C1C2..Cn
مدل 012..n
المساحة 11/41/4²...1/4n-1

(sn) هي متتالية هندسية اساسها 1/4; عندما n ياخذ قيمة كبيرة فان المربع يقترب ان يصبح نقطة اذن مساحته تقترب من 0
نقول ان نهاية المتتالية (sn) تساوي 0 ونكتب lim+∞(sn)= 0.

2.1.2 مثال 2

اتمم الجدول التالي

n10²10³104...+∞
10,01......0
n
10,0001....0
1........0
10,1......0
√n
1........0
np

كلما زادت قيمة n نقصت قيمة الحد العام لهذه المتتالية واقتربت من 0 , نقول ان نهاية هذه المتتالية هي 0

2.2 تعريف ونتيجة

2.2.1 تعريف

نقول ان متتالية (un) تقبل النهاية 0 اذا كان كل مجال مفتوح يحتوي على 0, يحتوي على جميع حدود المتتالية انطلاقا من رتبة ما
ونكتب lim (un)n∈I = 0
وبتعبير آخر
lim(un)n∈I=0 ⇔ (∀ε>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):un∈]-ε;+ε[

2.2.2 المتتاليات الاعتيادية

lim+∞1=0 lim+∞1=0
n
lim+∞1=0lim+∞1=0
√(n)
lim+∞1=0 ; p∈IN*
np

2.2.3 نتيجة: متتالية تؤول الى عدد حقيقي

lim(un)n∈I=L⇔lim (un)n∈I -L= 0

تمرين

ليكن (un) متتالية عددية معرفة بما يلي

un=7+1

احسب lim+∞(un)

تصحيح

نحسب النهاية lim+∞(un)-7

lim+∞(un)-7=lim+∞1

نعلم ان

lim+∞1=0

اذن lim+∞(un)=7.

3- المتتالية المتقاربة والمتتالية المتباعدة

3.1 تعريف وتطبيقات

3.1.1 تعريف

نقول ان متتالية متقاربة اذا كانت تقبل نهاية منتهية اي عددية وعكس ذلك فهي متتالية متباعدة

3.1.2 تطبيقات

بين ان

lim+∞ (2+ 1)=2
n
lim+∞1-5 =-5
√(n)
lim+∞3n+1=3
n