3.2 مبرهنات اساسية

3.2.1 مبرهنة 1

كل متتالية متقارب محدودة
lim_∞(u_n)n∈I=L
⇒(∃M∈IR+)(∀n∈I):|u_n|≤M

3.2.2 مبرهنة 2

اذا كانت متتالية تزايدية ومكبورة فهي متقاربة

3.2.3 مبرهنة 3

كل متتالية مصغورة وتناقصية فهي متقاربة

تمرين

لتكن (u_n) متتالية عددية معرفة كما يلي u_n+1=√(2+u_n) و u₀=7
1) بين ان لكل n∈IN 2≤u_n≤7
2) ادرس رتابة المتتالية (u_n) واستنتج انها متقاربة
3) بين ان لكل n∈IN لدينا |u_n+1-2|≤0,25|u_n-2|
واستنتج ان لكل n∈IN لدينا |u_n-2|≤5.(0,25)ⁿ
4) استنتج حساب lim(+∞)u_n

تصحيح

1) نبين بالترجع ان الخاصية لكل n∈IN لدينا 2≤u_n≤7 صحيحة

المرحلة الاولى من اجل n=0 لدينا 2≤u₀=7≤7 اذن الخاصية صحيحة
المرحلة الثانية نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من أجل n+1
2≤u_n≤7
⇔ 2+2≤u_n+2≤7+2
⇔ √(4)≤√(2+u_n)≤√(9)
⇔ 2≤u_n+1≤7
اذن الخاصية صحيحة من اجل n+1
المرحلة الاخيرة نستنتج اذن ان لكل n∈IN 2≤u_n≤7.

ملاحظة هامة: يمكن ان نبين المتفاوتة 2≤u_n
ثم نبين المتفاوتة u_n≤7.

2) ندرس رتابة المتتالية (u_n) , ومن اجل ذلك ندرس اشارة u_n+1-u_n.
u_n+1-u_n=√(2+u_n)-u_n=

نضع u_n=x ونعمل ثلاثية الحدود x²-x-2
Δ=b²-4ac=1+8=9>0

x1=-1 ; x2=2
اذن

وباستعمال السؤال الاول فان u_n-2≥0 ; u_n+1≥0 ; √(2+u_n)+u_n>0
اذن (u_n+1)(u_n-2)≥0
-(u_n+1)(u_n-2)≤0
وبالتالي u_n+1-u_n≤0
وهذا يعني ان المتتالية (u_n) تناقصية
وبما انها مصغورة ب 2 وتناقصية فهي اذن متقاربة

3) نبين ان لكل n∈IN
|u_n+1-2|≤0,25|u_n-2|
لدينا |u_n+1-2|=|√(2+u_n)-2|
= |(√(2+u_n)²-2²)(u_n+2)^-1|
= |(u_n-2)(u_n+2)^-1|
لدينا
2≤u_n≤7⇔ 4≤u_n+2≤9⇔
√4≤√(u_n+2)≤√9⇔
2+2≤√(u_n+2)+2≤3+2⇔
5^-1≤√(u_n+2)+2)^-1≤4^-1=0,25
ومنه فان لكل n∈IN لدينا
|u_n+1-2|≤0,25|u_n-2|

وباعطاء قيم ل n من 0 الى n-1
|u₁-2|≤0,25|u₀-2|
|u₂-2|≤0,25|u₁-2|
...
|u_n-1-2|≤0,25|u_n-2-2|
|u_n-2|≤0,25|u_n-1-2|

وبضرب طرفي هذه المتفاوتات طرفا طرفا وبعد الاختزال نحصل على
|u_n-2|≤(0,25)ⁿ.|u₀-2|
اذن |u_n-2|≤5.(0,25)ⁿ وبما ان 0< 0,25< 1 فان lim(+∞)(0,25)ⁿ=0 ومنه فان
lim(+∞)u_n-2=0
وبالتالي lim(+∞)u_n=2

4- النهاية اللامنتهية

4.1 متتالية تؤول الى +∞

4.1.1 تعريف

المتتالية (u_n) تقبل النهاية +∞ اذا كان لكل مجال ]A;+∞[, (A∈R), يحتوي على جميع حدود المتتالية انطلاقا من رتبة ما .
ونكتب lim_+∞ (u_n)n∈I = +∞
بتعبير آخر
lim_∞ (u_n)n∈I =+∞⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):u_n∈]A;;+∞[ .
⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):u_n > A.

4.1.2 نهايات اعتيادية

lim_+∞(n²)=+∞
lim_+∞(n³)=+∞
lim_+∞(n^p)=+∞ , p∈IN*
lim_+∞(√(n))=+∞

4.2 متتالية تؤول الى -∞

4.2.1 تعريف

المتتالية (u_n) تقبل النهاية -∞ اذا كان لكل مجال ]-∞ ; A[, (A∈R),يحتوي على جميع حدود المتتالية انطلاقا من رتبة ما.
ونكتب lim_+∞ (u_n)n∈I =-∞
بتعبير آخر
lim_∞ (u_n)n∈I =-∞⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):u_n∈]-∞;-A[ .
⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):u_n < -A.

4.2.2 خاصية

لتكن (u_n) متتالية عددية
lim(u_n)=+∞⇔lim(-u_n)=-∞

4.2.3 نهايات اعتيادية

lim(_+∞)(n²)=+∞
lim(_+∞)(n³)=+∞
lim(_+∞)(√(n)=+∞
lim(_+∞)(n^p)=+∞; p≥1

5- العمليات على نهاية المتتاليات

5.1 خاصيات

لتكن (u_n) و (v_n) متتاليتين عدديتين وتقبلان نهاية عند +∞ و k∈IR

اذا كانت lim_+∞(v_n)≠0 فان :

5.2 توسيع مفهوم النهاية

المجموع

الجذاء

الخارج

╳ يعني شكل غير محدد