6- المتتاليات من نوع : (n^p) , p∈ℚ*

6.1 خاصية p∈IN

lim_(n→+∞) n = +∞ ; lim_+∞ n² = +∞
ولدينا lim_+∞ n³ = +∞
lim_+∞ √n = +∞ و lim_+∞ n^p = +∞ ; p > 2

6.2 خاصية p∈ℤ-*

lim_(n→+∞)n^p=0

مثال

lim_(n→+∞)n^-7=0

6.3 خاصية p∈ℚ*

اذا كان p> 0 فان lim_(n→+∞)n^p=+∞
واذا كان p< 0 فان lim_(n→+∞)n^p=0

امثلة

lim_(n→+∞)n^2/3 =lim_(n→+∞)³√(n)²=+∞
lim_(n→+∞)n^-5/2 =lim_(n→+∞)√(n)^-5=0

تمارين

احسب النهايات التالية
lim_+∞3n²+2n-5 ; lim_+∞-2n³-2n²+7
lim_+∞5n²-3n+4
lim_+∞(2√(n) +1)(1-5n) ; lim_+∞n-√n

lim+∞	n²	; lim+∞	n²-3n+2
	2n²-5		n-2

بعض الاجوبة

lim+∞3n²+2n-5=lim+∞3n²(1+	2	-	5	)
	3n		3n²

وبما ان

lim+∞(1+	2	-	5	)=1+0-0=1
	3n		3n²

فان lim_+∞3n²+2n-5=lim_+∞3n².1=+∞

lim+∞	n²-1	=lim+∞	n²(1-1/n²)
	n4+1		n4(1+1/n4)
=lim+∞	1	×lim+∞	1-1/n²
	n²		1+1/n4
=lim+∞	1	×1	=0
	n²

lim+∞	n-√(2n²+n)
	n
=lim+∞	n(1-√(2+1/n)
	n
lim+∞	1-√(2+1/n)

وبالتالي

lim+∞	n-√(2n²+n)	=1-√(2)
	n

7- متتاليات من نوع (aⁿ), a∈IR*

خاصيات

اذا كان q > 1 فان lim_+∞ qⁿ = +∞
اذا كان -1 < q < 1 فان lim_+∞ qⁿ = 0
اذا كان q ≤ -1 فان المتتالية ليس لها نهاية

تمارين :

احسب النهايات التالية :
lim_+∞ 2ⁿ -3ⁿ ;

lim+∞(	7n+5n	)
	5n-3n
lim+∞(	√(5)+√(2)	)n
	√(5)+√(3)

8- النهايات والترتيب و مصادق التقريب

8.1 خاصيات :

اذا كانت (u_n) متتالية موجبة وتقبل نهاية منتهية L فان هذه النهاية موجبة
اذا كانت (u_n) متتالية سالبة وتقبل نهاية منتهية L فان هذه النهاية سالبة
اذا كانت (u_n) و (v_n) متتاليتين و L∈IR بحيث لكل n∈I: |u_n-L|≤v_n و lim_+∞(v_n)=0 فان lim_+∞(u_n)= L

8.2 خاصيات

(un) ; (vn) و (wn)متتاليات عددية و n∈I
اذا كان لكل n∈I لدينا vn≤un≤wn و lim+∞(vn)=lim+∞(wn) فان lim+∞(un)=lim+∞(vn)=lim+∞(wn) (مبرهنة الدرك )
اذا كان لكل n∈I لدينا un≤vn و lim+∞(vn)=-∞ فان lim+∞(un)=-∞
اذا كان لكل n∈I لدينا un≥vn و lim+∞(vn)= +∞ فان lim+∞(un)=+∞

8.3 خاصيات

1) كل متتالية تزايدية وسالبة هي متتالية متقاربة
2) كل متتالية تناقصية وموجبة هي متتالية متقاربة
3) اذا كالنت (u_n) تزايدية وغير مكبورة فان lim_+∞(u_n) = +∞
4) اذا كانت (u_n) تناقصية وغير مصغورة فان lim_+∞(u_n) = -∞

9- المتتاليات الترجعية من النوع u_n+1=f(u_n); n∈I

9.1 خاصية

لتكن f دالة متصلة على مجال I بحيث f(I)⊂I و (u_n)n_n≥p متتالية معرفة كما يلي u_n = f(u_n) و u_p∈I
اذا كانت (u_n) متقاربة فان نهايتها L تحقق المعادلة f(x)=x.

9.2 المتتاليات من النوع u_n+1=au_n+b

تمرين

لتكن (u_n) متتالية معرفة كما يلي :

un+1 =	1	un -1 و u0=2
	2

1) بين ان ∀n∈IN, -2 < u_n ≤ 2
2) بين ان (u_n) متتالية تناقصية واستنتج انها متقاربة .
3) لتكن f الدالة المعرفة ب

f(x)=	1	x-1
	2

i. بين ان f متصلة على المجال I=[-2;2] و f(I)⊂I
ii. حل المعادلة f(x)=x على المجال I
4) استنتج lim_+∞(u_n)