Suites numériques (10)
Exercice 1 tp
Soit (un)n∈IN* une suite numérique définie par
| un = | sin(n) |
| n |
| Calculer | lim + ∞ |
(un) |
Correction
Pour tout x∈IR, -1 ≤ sinx ≤ 1
donc ∀n∈IN*, -1 ≤ sin(n) ≤ 1
n→+∞ ⇒ n ≥0
Donc
| sin(n) | ≤ | 1 | ||
| n | n |
⇔
| -1 | ≤ | sin(n) | ≤ | 1 |
| n | n | n |
On a
lim + ∞ |
1 | = 0 | et | lim + ∞ |
- 1 | = 0 |
| n | n |
| Donc | lim + ∞ |
sin(n) | = 0 |
| n |
Exercice 2 tp
Calculer
lim + ∞ | -n+(-1)n |
| √(n) |
Correction
(∀n∈IN): (-1)n ≤ 1 ⇔ -n+(-1) n ≤ -n + 1
Et puisque ∀n∈IN* on a √(n) > 0
| Alors | -n + (-1)n | ≤ | -n + 1 |
| √(n) | √(n) |
| On a | - n + 1 | = - √(n) + | 1 |
| √(n) | √(n) |
| lim + ∞ | 1 | = 0 | lim + ∞ |
- √(n) = -∞ | |
| √(n) |
| Donc | lim + ∞ |
-n+(-1)n | = -∞ |
| √(n) |
Exercice 3 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
| un = | 1 |
| x+cos²n |
| Calculer | lim + ∞ |
(un) |
Correction
∀n∈IN, cos²n ≥ 0
donc n + cos²n ≥ n
Notons que si vn ≤ un ≤ wn
| et | lim +∞ |
vn = | lim +∞ |
wn |
alors
lim +∞ |
un | = | lim +∞ |
vn | = | lim +∞ |
wn |
d'une part
| 1 | ≤ | 1 |
| n+cos²n | n |
d'autre part
| lim + ∞ | 1 | = 0 |
| n |
n→ +∞ donc n est strictement positif
Puisque
| 1 | > 0 | |
| n + cos²n |
alors
lim + ∞ |
un = 0 |