Exercice 1 tp
Soit (un)n≥0 une suite numérique définie par
| { |
(n∈IN): un+1 = |
1 | (un+ | 4 | ) |
| 2 |
un |
| u0=3 | |
|
|
|
1) Montrer que ∀n∈IN; un > 0
2) (a) Montrer que
| ∀n∈IN; un+1 -2 = |
1 | . | (un-2)² |
| 2 |
un |
(b) Montrer que (∀n∈IN): un > 2
3) (a) Montrer que
| (∀n∈IN): un+1 -2 = |
1 | (un-2)+ | 2 |
-1 |
| 2 |
un |
(b) Déduire que
4) Calculer
Correction
1) On montre par récurrence la propriété
P1: ∀n∈IN; un > 0
pour n=0; la propriété P1 est vraie car u0=3>0
on suppose que la propriété P1 est vraie pour n
c'est à dire un> 0
et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire un+1> 0
On a
Donc
ou encore un+1 > 0 donc la propriété P1 est vraie pour n+1
ainsi ∀n∈IN; un > 0
2) (a) On a
| un+1-2 = |
1 | (un+ | 4 | ) - 2 |
| 2 |
un |
| = |
1 | (un+ | 4 | - 4) |
| 2 |
un |
| = |
1 | ( | un²-4un+4 | ) |
| 2 |
un |
| = |
1 | . | (un - 2)² | |
| 2 |
un |
| ∀n∈IN; un+1 -2 = |
1 | . | (un-2)² |
| 2 |
un |
(b) On montre par récurrence la propriété
P2: ∀n∈IN; un > 2
pour n=0; la propriété P2 est vraie car u0=3 > 2
on suppose que la propriété P2 est vraie pour n
c'est à dire un> 2
Et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire un+1 > 2
On a un > 2 ⇔ un - 2 > 0
donc (un - 2)² > 0 et un > 0
ou encore
un+1 -2 > 0 donc la propriété P2 est vraie pour n+1
ainsi ∀n∈IN; un > 2
3) (a)
| un+1-2 = |
1 | (un+ | 4 | ) - 2 |
| 2 |
un |
| = |
1 | (un+ | 4 | - 4) |
| 2 |
un |
| = |
1 | (un-2 + | 4 | - 2) |
| 2 |
un |
Donc ∀n∈IN
| un+1-2 = |
1 | (un - 2) + | 2 | -1 |
| 2 |
un |
(b) On a
| un+1 -2 = |
1 | (un-2)+ | 2 |
-1 |
| 2 |
un |
| donc (∀n∈IN): un+1 -2 < |
1 | (un-2) |
| 2 |
| u2 -2 < |
1 | (u1-2) |
| 2 |
| u3 -2 < |
1 | (u2-2) |
| 2 |
| "" "" |
"" | "" "" |
| un -2 < |
1 | (un-1-2) |
| 2 |
On fait la somme membre à membre des inégalités
et après simplification on obtient
4) -1 < 0,5 < 1 donc (0,5)n→0
et on a
| (∀n∈IN): | 0 < un -2 < ( |
1 | )n |
| 2 |
D'après le Théorème de gendarme on obtient