1- معادلة مستقيم

1.1 مستقيم معرف بنقطة ومتجهة موجهة له

1.1.1 تقديم

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→) .

للتذكير
u^→ و v^→ مستقيميتان يعني يوجد عدد حقيقي k
بحيث v^→=ku^→ .

1) نقول ان متجهة موجهة لمستقيم اذا كانت تمثل اتجاهه.

2) نعتبر مستقيما (D) متجهته الموجهة u^→(α;β) ويمر من النقطة A(x_A;y_A).
M(x;y)∈(D) يعني AM^→ و u^→ مستقيميتان يعني يوجد عدد حقيقي k بحيث AM^→=ku^→
يعني x-x_A=kα و y-y_A=kβ
يعني β(x-x_A)=kαβ و α(y-y_A)=kαβ
اذن βx-αy-(βx_A-αy_A)=0

نضع β=a و -α=b و -(βx_A-αy_A)=c
اذن M∈(D) يعني ax+by+c=0.

1.1.2 خاصية وتعريف

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→) . كل مستقيم في المستوى له معادلة تكتب على الشكل ax+by+c=0 وتسمى معادلة ديكارتية.

1.1.3 خاصية

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→) . مجموعة نقط M(x;y) من المستوى
بحيث ax+by+c=0 هي مستقيم
متجهته الموجهة u^→(-b;a).

مثال
حدد معادلة ديكارتية لمستقيم (D) المار من النقطة A(2;3) والموجه بالمتجهة u^→(1;4).

تصحيح
طريقة اولى
نعلم ان معادلة ديكارتية للمستقيم (D)
تكتب على الشكل ax+by+c=0.

وبما ان u^→(1;4) متجهته موجهة ل (D)
فان -b=1 و a=4
اذن معادلة (D) تكتب على الشكل التالي
4x-y+c=0.
لدينا A(2;3)∈(D) اذن الزوج (2;3) يحقق معادلة المستقيم (D)

ومنه فان 4.2-3+c=0 اي c=-5
وبالتالي 4x-y-5=0 معادلة ديكارتية للمستقيم (D).

طريقة ثانية
M(x;y)∈(D) يعني det(AM^→;u^→)=0

يعني (x-2).4-(y-3).1=0
يعني 4x-8-y+3=0
اذن 4x-y-5=0 هي معادلة ديكارتية للمستقيم (D).

تمرين 1 tp

المستوى ℙ منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→) .
1) حدد معادلة ديكارتية لمستقيم (D)
المار من النقطة A(1;-1)
والموجه بالمتجهة u^→(2;1).
2) انشئ المستقيم (D).