2.2 Equation de la droite (EF)

2.2.1 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ deux points E(a;b) et F(a';b') tels que (a'≠a) et (b'≠b).

x-a	=	y-b
a'-a		b'-b

est une équation de la droite (EF).

Démonstration
M(x;y)∈(EF) signifie det(EM;EF)=0
signifie (x-a)(a'-a)-(y-b)(b'-b)=0

donc

(D):	x-a	=	y-b	(a'≠a) et (b'≠b)
	a'-a		b'-b

Exemple
Soient E(2;1) et F(7;4) deux points du plan ℙ.
Déterminer une équation de la droite (EF).

Correction
On a 7-2=5≠0 et 4-1=3≠0, donc
l'équation de la droite (EF) est

x-2	=	y-1
5		3

Ou encore 3(x-2)=5(y-1)
ou encore 3x-5y-6+5=0
ainsi 3x-5y-1=0 est une équation cartésienne de la droite (EF).

2.2.2 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ une droite (E;u^→) tels que E(a;b) et u^→(α;β) (α≠0 et β≠0).
La droite (D) admet une équation sous la forme

x-a	=	y-b
α		β