Exercice 1 tp (Programmation linéaire)

Une communauté construient deux types de tapis,T1 et T2, le jour utilisent la machine et la nuit travaille à la main.Elles ont réservé un budget de 5000 Dh pour la matière première et 15000 Dh pour la main d'oeuvre, chaque tapis rapportrait un gain de 750 Dh
Sachant qu'un tapis de type T1 demande 2000dh pour la matière première et 3000 Dh pour la main d'oeuvre

Alors pour le tapis T2, 1000 Dh pour la matière première et 4000 Dh pour la main d'oeuvre
Combien de tapis de chaque type devraient elles fabriquer pour obtenir le maximum de profils possible ?

Correction
On désigne par x et y les nombres respectifs des tapis T1 et T2

Type	T1	T2	Total
Matière première	2000/1	1000/1	5000
Main d'oeuvre	3000/1	4000/1	15000

La matière première est représentée par l'inéquation
2000x + 1000y ≤ 5000
et la main d'oeuvre est représentée par l'inéquation
3000x + 4000y ≤ 15000
Et évidemment x>0 et y>0 des entiers naturels
Le couple (x ; y) vérifie le système

{	2000x + 1000y ≤ 5000
	3000x + 4000y ≤ 15000
	x>0 ; y>0

qui signifie

(S) : {	2x + y ≤ 5
	3x + 4y ≤ 15
	x>0 ; y>0

Premièrement on construit les deux droites
(D): 2x + y - 5 = 0
(D'): 3x + 4y - 15 = 0
On résout le système suivant pour connaitre le point d'intersection des droites

{	2x + y - 5 = 0
	3x + 4y - 15 = 0

On peut utiliser la méthode de substitution

{	y = -2x + 5
	3x + 4(-2x + 5) - 15 = 0

signifie

{	y = -2x + 5
	-5x + 5 = 0

signifie

{	y = -2.1 + 5 = 3
	x = 1

Ainsi (D) ∩ (D') = {A(1 ; 3)

L'ensemble de solutions du système (S) est l'ensemble des points de la zone déterminée par le quadrilatère OAEF
Et chaque point M(x ; y) représente un profit possible b
On a 750x + 750y = b , cette expression et selon les valeurs de b représente une équation des droites (d) parallèles et coupent le quadrilatère OAEF.

Le profit b sera maximum au point d'intersection le plus élevé de l'une de ces droite et du quadrilatère, à condition que ses coordonnées soient des entiers naturels
Cette intersection est le point E(1 ; 3)
Par conséquent, un tapis de type T₁ doit être fabriqué et trois tapis de type T₂
Le profit maximum possible est donc
b = 750×1+750×3
b = 3000 Dh.