1.4 Equations et Inéquations se ramenant à la résolution des équations et inéquations du premier degré à une inconnue

1.4.1 Exemple 1

Résoudre dans IR l'équation
(x-2)(x+1)=0.

Correction

Rappel a.b=0 signifie (a=0 ou b=0).

(x-2)(x+1)=0 signifie (x-0 ou x+0).

signifie (x=2 ou x=-1) ainsi S={-1;2}.

1.4.2 Exemple 2

1) Résoudre dans IR l'équation x²-9=0.
2) Etudier le signe de x²-9.
3) Déduire l'ensemble de solutions
de l'inéquation x²-9≥0.

Correction
1) L'expression x²-9 est une identité remarquable
x²-9=0 signifie (x-3)(x+3)=0
signifie (x-3=0 ou x+3=0).

Signifie (x=3 ou x=-3)
donc S₁={-3;3}.
2) Signe de x²-9
on a x²-9=(x-3)(x+3).
(a) On étudie le signe de x-3

x		-∞ ..	3	.. +∞
x-3		-	0	+

(b) On étudie le signe de x+3.

x		-∞ ..	-3	.. +∞
x+3		-	0	+

(c) On peut regrouper les deux tableaux

x		-∞ ..	-3	..	3	... +∞
x-3		-	|	-	0	+
x+3		-	0	+	|	+
x²-9		+	0	-	0	+

Conclusion
x²-9≥0 si x∈]-∞;-3]∪[3;+∞[.
x²-9≤0 si x∈[-3;3].

L'ensemble des solutions de l'inéquation
S₂=]-∞;-3]∪[3;+∞[.

1.4.3 Exemple 3

1) Résoudre l'équation -x²+4x-4=0.
2) Résoudre l'inéquation -x²+4x-4>0.

Correction
1) -x²+4x-4=-(x²-4x+4)=-(x-2)² (identité remarquable)
donc -x²+4x-4=0 signifie -(x-2)²=0
signifie x-2=0 signifie x=2
ainsi S={2}.
2) On a -x²+4x-4=-(x-2)²
et pour tout x∈IR on a (x-2)²≥0.

On a donc -(x-2)² ≤0
Ainsi -x²+4x-4 ≤0 et cela signifie qu'il n'existe aucun élément qui réalise l'inéquation
-x²+4x-4>0 alors S=∅.

Exercice 1 tp

1) Résoudre dans IR l'équation
x²-4x+4=0.
2) Résoudre dans IR l'inéquation
x²-4x+4>0.
3) Déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation x²-4x+4 ≤ 0.

Correction

1) x²-4x+4 est une identité remarquable donc x²-4x+4=0 signifie x²-2.2x+2²=0
signifie (x-2)²=0 signifie x-2=0.
Signifie x=2
ainsi S₁={2}.
2) On a x²-4x+4=(x-2)²
donc pour tout (x∈IR): (x-2)²≥0
ou encore x²-4x+4≥0 mais l'inéquation demandée est x²-4x+4>0.

On a x²-4x+4=0 si x=2
donc pour tout( x∈IR\{2}): x²-4x+4>0
et par conséquent S₂=IR\{2}.

3) L'ensemble des solutions de l'inéquation x²-4x+4≤0.
Comme nous avons montré précédemment
tout (x∈IR) on a x²-4x+4≥0
donc le seul élément qui réalise
l'inéquation x²-4x+4≤0 est le nombre 2
ainsi S₃={2}.